“动静法”解函数背景下几何最值问题

张春花

(福建省莆田第二中学 351131)

一、题目呈现

如图1，抛物线y=x2-x-4与直线y=-2x+2交于A、B两点，直线与y轴、x轴的交点分别为点E、点F.直线AB下方的抛物线上有一动点P，记点P的横坐标为t.当△ABP的面积最大时求t的值，并求出△ABP面积的最大值.

图1

二、特色解读

题目简约，内涵丰富，指向核心素养.

现在人的眼里，简单即是美，体现在数学题目上也一样.本题图像简单唯美，文字简约，体现数学的简约美.简约外形下对动态下求三角形面积最大值这一核心问题考查到位，而且此题考查函数背景下的几何最值问题，具有较好的延展性，题目不变，可以把问题变式为求线段最短，求三角形周长最短等等，可以从多角度变式探究，此题不失为一道内涵丰富的课堂例题.

本题以二次函数为载体，综合考查了初中阶段“图形与几何”“数与代数”的重点知识：二次函数，一次函数，相似三角形，三角函数等，不仅为高中学习二次函数奠定了基础，也对学生的思维发展产生了积极作用.

三、解法欣赏

分析完本题的条件，再来看本题的问题，当△ABP的面积最大时求t的值，并求出△ABP面积的最大值.通过分析已经知道AB的长度，从静态视角下考虑只要找到AB边上的高长度最大时所对应的点P即可.从动态视角下考虑可以利用相似或三角函数转化表示出AB边上的高DP关于变量t的关系式，也可以考虑利用“化斜为直”转化.

1.静态法——利用直线平移，化动为静

思路分析要求△ABP面积的最大值，AB的长度固定，只要找到点P到直线AB的……