高考中的数列求和问题

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

我们知道，等差数列和等比数列是两类最基本的数列，求通项公式和前n项和是数列的两个基本问题，解答一般数列求和问题的基本思想是根据数列通项的特征，运用适当的方法，把它转化为等差数列、等比数列、或其它可求和数列的求和问题，常用的方法有：公式法、分组转化法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法和错位相减法等.下面以近年高考题为例，阐述如下：

一、公式法

如果数列是等差数列或等比数列，那么它的前n项和可直接用求和公式求得.公式法是数列求和最基本、最重要的方法.

例1(2020·海南)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1．

分析(1)设数列{an}的公比为q(q>1)，先用基本量法求出a1和q，再求出数列{an}的通项公式；

(2)依题意，数列{(-1)n-1anan+1}是以a1a2为首项，-q2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式，即可求出答案．

解析(1)设等比数列{an}的公比为q(q>1)，

所以an=2·2n-1=2n．

点评本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．

二、分组转化法

如果数列的各项是由若干个可求和数列的对应项之和构成，那么这个数列的前n项和可用分组转化法求得，这个数列的前n项和等于这些数列前n项和的和.分组转化法是数列求和常用的方法之一.

解题步骤：(1)把已知数列拆分成若干个可求和的数列；(2)求出各个数列的前n项和；(3)把所得的结果相加.例如，数列{an+b+cqn-1}可拆分成数列{an+b}和{cqn-1}等.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=2an+(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

所……