一道高考题错误解法的反思

冯世伟

(河南省新乡市第二中学 453000)

在讲排列组合复习课时，学生A拿着资料问我下面的一道题：

题目某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图1所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有____种(用数字作答).

此题是高考理科填空题第16题 (重庆卷)，这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，当时就给学生如下分析：由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1处有3种选择，点B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(种)方法.看数据与答案相符，当时还有点沾沾自喜的“成就感”.在第二天上课时我就将此题在班里讲了一下.

学生B说：“老师，您的解题思路有问题”.

我当时持有怀疑的心理，为了鼓励学生B，我还是说：“请你说说错误之处”.

学生B说：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可导致最终只使用了三种颜色的情况出现”.

对呀!题目要求每种颜色的灯泡都至少用一个，我向同学们说：我知道，我错了！究竟错在何处呢，为什么我的思路所得数据又和答案“如此完美的相符”呢？同学们发现了老师的错误，真是激情高涨，为了能尽快地纠正老师的错误，当时在班内就热火朝天地讨论开了.

题意分析这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，解题时抓住题意，“同一条线段两端的灯泡不同色……