在“对-换-算”模式下对新教材函数章节学习的新思考

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

函数是刻画运动变化的数学模型和工具，它贯穿整个高中数学的始终，是高中数学的龙骨架.为此,笔者分别从对的初心、换的使命、算出结果等方面进行阐述.仅供参考.

一、“对”的初心

函数的本质是什么？简单说，理解函数的初心就是找对应.就是x与y的对应.即x的变化对应y的变化.见表1.

表1 比对函数f(x)单调性定义与最值定义

通过列表对比、观察，不难发现函数单调性定义和最值定义的相同点、不同点，这样列表对比更能深刻理解函数概念，让学生一目了然，进一步感悟函数的本质——“对”的初心.

表2 比对函数f(x)奇偶性定义与周期性定义

通过对比，不难发现函数的奇偶性和周期性具有相同的形式.因此，列表起到简洁、实用的效果.

例1已知f(x)=2x+1，g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)，求f(g(x))的解析式.

分析函数的本质就是找对应.实际操作就是涂改，可分成6步即可.

分别为：(1)涂x改x+1；(2)涂x改2x-3；(3)涂f(x+1)改2x+3；(4)涂f(2x-3)改4x-5；(5)涂g(x)改8x+1；(6)涂x改8x+1.

解析因为f(x)=2x+1，

所以f(x+1)=2x+3，f(2x-3)=4x-5.

所以g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)=8x+1.

所以f(g(x))=f(8x+1)=2×(8x+1)+1=16x+3.

即f(g(x))=16x+3.

二、“换”的使命

1.换的视角之一——变换

函数本身的不同表征往往具有不同的表现形式，往往也导致不同的思维方式.因此，在教学中要引导学生建立函数不同表征之间的联系，选择、取舍，变换函数的各种表征，从而达到有效解题.笔者从函数章节学习了解到，在解题中常常用文字语言、符号语言、图形语言来描述函数概念，它们相互转化往往起到事半功倍的效果.

表3 比对函数单调性的定义各种语言的描述

表4 比对函数奇偶性的定义……