五种方法解决八省联考数学第7题

卢会玉

(甘肃省嘉峪关市第一中学 735100)

2021年1月23日-25日，实行“3+1+2”新高考模式的江苏、广东、湖南、湖北、河北、辽宁、福建、重庆，进行第一次高考前模拟考试联考，这被今年的考生称为“八省联考”.全流程模拟2021年高考，试题由教育部考试中心统一命题，对2021年高考使用全国卷的考生复习备考具有很强的指导意义.据部分考生反映，数学内容难度较大，考试过后不少考生直呼：简直就是炼狱般难度.在笔者看来确实少了很多以往的“套路”题，出现了很多“考思维”的题，打破了考生的“舒适圈”，这也是考生觉得题很难的原因.

笔者对联考中的第7题产生了浓厚的兴趣，通过研究发现了五种不同的解决办法，现分享如下：

引例已知抛物线y2=2px上的三点A(2,2),B,C，直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为( ).

A．x+2y+1=0 B．3x+6y+4=0

C．2x+3y+2=0 D．x+3y+2=0

解法1 (直接法解题)因为点A(2,2)在抛物线y2=2px上，所以4=2p×2，解得p=1.

因此抛物线的方程为y2=2x.

设圆心为T(2,0)，则AT⊥x轴，易知kAB+kAC=0.

由题可设直线AB的方程为y=k(x-2)+2(k>0)，则直线AC的方程为y=-k(x-2)+2.

解法2 (利用划归思想解题)同解法1，可知抛物线的方程为y2=2x.

同理可得,3x2+6y2+4=0.

这就是说点B,C在直线3x+6y+4=0上，即直线BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.

解法3(利用类比思想解题)同解法1，可知抛物线的方程为y2=2x.

即2x-(b+c)y+bc=0.

即2x-(b+2)y+2b=0.

图1

解法4 (点差法解题)同解法1，可知抛物线的方程为y2=2x.

设抛物线y2=2x上点B(x1,y1),C(x2,y2)，

由kAB+kAC=0,得y1+y2=-2y0.

则可求得BC的方程为3x+6y+4=0.故选B.

这道小题并不小，对学生的要求很高，如果能注意到直线AB和直线AC的斜率互为相反数，应该容易联想到利用同理的方法解决相似问题，这样既可以节省时间，又提高了效率.但是很明显，如果不加……