选取角为自变量解题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

选取以角为自变量解题，是高中数学解题的一种常用方法，但多数同学往往想不到、用不上.选取以角为自变量的解题方法，有着十分广泛的应用.如求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值)，求圆锥曲线离心率的取值范围(最值)，求三角形的边长、面积、周长的取值范围(最值)，求三角形的两边之和或之差或之积或之商的取值范围(最值)，求多面体的体积的取值范围(最值),求平面凸多边形的边长、面积、周长的取值范围(最值)等.如何选取角为自变量进行解题研究，以下举例说明，旨在抛砖引玉，以飨读者.

一、选取角为自变量求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值)

例1 (2014年高考全国Ⅱ卷·理16)设点M(x0，1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是____.

分析选取∠MNO为自变量，记∠MNO=α，应用正弦定理建立x0与α的关系式，问题转化为求角α的三角函数的值域问题.

解析因为点M(x0，1)在直线y=1上运动，记∠MNO=α，如图1，则∠MON+α=135°，所以0°<α<135°.又因为MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

从而x0的取值范围是[-1，1].

二、选取角为自变量求线段长度的最值(取值范围)

例2 在边长为2的正△ABC的边AB，AC上分别取M，N两点，点A关于线段MN的对称点A′正好落在BC边上，则AM长度的最小值为____.

分析连接A′M，如图2，因为AM=A′M，所以问题转化为求A′M长度的最小值.在△BMA′中，因为∠B=60°，又设AM=x，则A′M=x，BM=2-x，选取∠BA′M为自变量，记∠BA′M=θ，运用正弦定理建立x与θ的关系式，问题又转化为求x关于角θ的三角函数的最值问题.

三、选取角为自变量求平面凸多边形的边长的取值范围(最值)

例3(2015年高考全国Ⅰ卷·理16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值……