分数阶p-Laplace算子相关的一个重排优化问题

邱 崇

(淮阴工学院 数理学院，江苏 淮安 223001)

重排优化问题是指在某个可测函数所有重排函数组成的集合上的最优化问题，该问题有着丰富的物理背景，在弹性力学、流体力学、波动力学等领域都有重要应用。

19世纪著名物理学家 Thomson (Lord Kelvin) 曾提出如下一个平面流体力学问题：若某一区域流体的涡量场已知，在该涡量场所有可能的分布中能否找到某种分布使得该区域流体动能达到最大或最小？1989年Burton将该问题等价转化为如下的重排优化问题：

max{E(g):g∈R(f)}和min{E(g):g∈R(f)}

其中f为区域Ω上已知的涡量场，g为f的一个重新分布或重排函数，E(g)表示涡量场为g时流体动能，R(f)为f的所有重排函数组成的集合。

利用泛函分析中鞍点定理等工具并结合重排函数集合的凸性等性质，Burton得到了以上两个重排优化问题解的存在性，从而解决了Lord Kelvin的问题[1-2]。之后更多微分方程中的重排优化问题被提出并得到了广泛的研究[3-6]。近年来，非局部算子相关的重排优化问题研究引起了越来越多的关注。

Qiu等[7]考虑了如下方程相关的重排优化问题，

其中Lθs是分数阶Laplace型算子定义如下：

Lθsu(x)

得到了相应重排优化问题解的存在性等结果。已有文献大多讨论的是分数阶Laplace算子相关的重排优化问题[8-13]，而分数阶p-Laplace算子相关的能量泛函重排优化问题尚未见报道。由于分数阶p-Laplace算子不仅具有非局部性而且具有非线性性，因此其相关的重排优化问题研究需要克服更多困难。

本文将考虑如下的分数阶Poisson方程

f(x)为某个可测函数。可以证明，对f(x)∈Lq(Ω)方程(1)具有唯一解，记为uf。……