一堂尴尬的数学课

王建明

19世纪末，德国有位厉害的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师，爱因斯坦因为经常不去听课，被他骂作“懒虫”。可万万没想到，就是这个“懒虫”，后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事……

一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把一幅地图上有共同边界的不同国家涂成不同颜色以作区分，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”

闵可夫斯基微微一笑，对学生说：“这个问题叫四色问题，是1852年流传至今的著名的数学难题。用数学语言表示也就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相交于一点或有限多点，就不叫相邻的。用不同的颜色给它们着色不会引起混淆。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。”为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，想让问题变成定理……下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都没能解答。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“唉，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”

很多数学家绞尽脑汁解决四色问题却未果。直到1969年，才有一位德国数学家希斯第一次提出具体可行的寻找不可避免可约图的算法，他称为“放电算法”。后来哈肯注意到希斯的算法可以大大改进，于是和阿佩尔合作，从1972年开始用简化了的希斯算法产生不可避免可约图集，他们采用新的计算机实验方法，并得到了计算机程序专家的帮助，到1976年6月終于获得了成功：一组不可避免可约图找到了，这组图共2000多个。他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿次判断，完成了四色定理的证明，轰动了世界。“四色问题”的证明不仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。

在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表、设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

（作者单位：江苏省常州市武进区剑湖实验学校）