浅谈高中数学“一题多解”教学中如何培养数学创新思维

石岩

摘 要：创新思维对我们培养人，培养高素质的人才非常重要。数学创新思维的培养，要培养学生善于合情联想，要培养学生的发散性思维，要培养学生有求异的精神，要培养学生运用逆向思维。文章以高中数学“一题多解”教学为例逐一阐释以上培养数学创新思维的方面。

关键词：创新思维;一题多解;合情联想;发散思维;求异精神;逆向思维

唯创新者进，唯创新者强，唯创新者胜。创新能力和创新精神是发展的动力和要求，而创新能力和创新精神的源泉在于实践基础上的创新思维。对数学创新思维进行培养和训练，对于提高学生的数学思维水平和数学认知创新能力将产生积极的意义。培养数学创新思维是提高学生数学思维水平的需要，数学创新思维的培养能有效地培养学生的数学思维能力，学生的数学思维能力的提高必将让其受益远不止于学业的成功。对于数学教师而言，培养数学创新思维是教学不变的目标，是改进教学方法的方向，亦是提高教学效果的途径之一。

在中学数学的教学中，长期以来我们把大部分精力放在传授数学知识、训练解题能力和培养应试能力上，忽视了学习推理和问题解决等技能的培养。数学教师在课堂上直接传授着数千年累积下来的数学概念、定理和公式等，而对于这些概念、定理和公式是如何被发现和逐步完善的无暇顾及，仿佛这些概念、定理和公式本来就存在，学习者不可对它们有任何的质疑。这样的教学理念和方式，制约了学生数学创新思维的发展。学生通过数学学习或解决数学问题，只能获得熟悉情景的数学问题的解决能力，无法自主分析和解决新情景下的数学问题，也许这正是高三复习阶段学生数学学习遇到瓶颈的症结所在。

目前，创新思维的培养和训练愈来愈多地受到数学教育者的重视。在上海高中数学的新教材中，数学建模的教学要求被提高到前所未有的高度，就是在数学教学中强调数学创新思维最好的例证。同时，在教学实践中，教师和学生都认识到：唯有有效思维、高效思维才能适应科技进步、时代发展的需要。事实上，很多有效的思维培养和训练的方法已经广泛地作为数学教学方法而被加以运用，比如中学生课题研究、小组合作学习等。在实际数学教学中，笔者认为“一题多解”的教学方式有助于培养学生的数学创新思维。

一、 数学创新思维需要数学联想

数学创新思维需要发挥想象，可以从猜想开始，但不是胡乱的猜想。在高中的数学学习中，可以构建和存储很多数学小模型，让我们联想时有一定的方向，也易于产生合情有效的联想。

案例1 已知a，b∈R，且a+b+1=0，求（a-2）²+（b-3）²的最小值。

思路1：所求式子中含有两个未知数，所以我们会考虑把未知量个数减少，再通过二次函数得到最小值。

解法1：由题意得b=-a-1，把其代入算式得：（a-2）²+（-a-4）²=2a²+4a+20=2（a+1）²+18≥18，当且仅当a=-1，b=0时取得最小值18。

思路2：设所求为t，转化所求式为关于a的一元二次方程，运用判别式得解。

解法2：由题意我们可以设t=（a-2）²+（b-3）²①，把b=-a-1代入①式得2a²+4a+20-t=0，从而有Δ=b²-4ac=16-8（20-t）≥0，解得t≥18，当且仅当a=-1，b=0时取等号，即a=-1，b=0时，（a-2）²+（b-3）²的最小值为18。

这两种解题思路是相关联的，都比较基础，是学生比较容易想到的办法。

思路3：由条件式可以联想到直线，由结论式可以联想到圆。

学好高中数学，必须有丰富的联想能力，将面临的问题通过联想转换为更为熟悉的数学对象，思路3就是将代数问题转换为直线与圆的位置关系的几何观点来看待，这样就把求解的问题简单化了，充分体现了数学创新思维的联想特性。类似于思路3，我们还可以有

思路4：利用两点间距离公式的几何意义，转化为定点到直线上动点间的距离的最小值就是点到直线的距离进行求解。

数学创新思维的联想可以是从数到形或从形到数的联想，可以是性质相近，或图像形状相似的同类内容联想，还可以是对与之具有相反特点的问题作对比联想。

二、 数学创新思维具有发散性

在解决熟悉的问题时，数学思维定式会让人觉得得心应手，但是面临的问題需要自主分析时，思维定式就会变成枷锁，阻碍新思维。发散性的思维是数学创新思维的核心。发散性思维可以给你解决问题时提供众多的解决方案。

可见，但是由于x范围的限制，这一解法不是最优的方案，极易因没有充分考虑x范围而产生错解。

思路2：利用万能公式换元。

在解决数学问题时，可以变换问题的形式，对于数学的概念、法则、定理、公式、题目等从变换思维角度进行发散式的推广，这样不仅可以培养学生的创新思维能力，而且能将知识深入，提高学生分析问题、解决问题的能力。“一题多解”能够让学生和老师的思维得以碰撞，从而产生新的思考，教师和学生在这一过程中都会有打破思维定式的机会。教师引导学生逐步深入分析问题本质，将疑难点分解，对关键点进行点拨，亲身经历思考过程，哪怕是试误的过程，都是难能可贵的。

三、 数学创新思维鼓励求异

数学创新思维要求关注数学问题的差异性与特殊性，关注表述与本质、形式与内容的不一致性。对于已经存在数学的定理和结论，需要用求异性的思维来思考和看待，以怀疑和批判的态度去对待，这样才能让数学认知越来越趋于完整和全面。

案例3 已知实数x、y满足x²+y²-xy=3，求x²+y2的取值范围。