设计几何模型优化解决问题

陈建国

中考中经常会出现一些有一定难度的几何问题，很多同学对此常常感到束手无策.此时若能设计出一些常见解题模型，往往能出奇制胜.现举例说明.

策略一、通过设计直角三角形优化解决问题

例1 如图1，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（ ）.

A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]

[C][B][A][ ] [C][B][A][ ] [D]

图1           图2

解析：如图2，过点B作BD⊥AC于D，∴∠ADB = 90°.

设网格中每个小正方形边长为1，则可得AB =[13]，由面积法可得BD = [22]，根据勾股定理可得sin∠BAC = [BDAB] = [2213] = [2626].

故选B.

点评：设计含∠BAC的直角三角形是解决本题的关键.

策略二、通过设计圆优化解决问题

例2 如图3，在边长为2[3]的菱形ABCD中，∠C=60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE=DF，DE与BF交于点P. 当点E从点A运动到点B时，点P的运动路径长为 .

[B][E][A][P][F][D][C][E] [A] [B][O][P][F][D][C]

图3 图4

解析：如图4，连接BD，易得△ABD为等边三角形. ∴DB = AD = [23]，∠A = ∠BDF=60°，又∵AE = DF，∴△ADE ≌△DBF，∴∠ADE = ∠DBF，∴∠BPD = ∠BFD + ∠ADE = ∠BFD + ∠DBF=120°，∴∠C + ∠BPD = 180°，∴C，B，P，D四點共圆，∴点P的运动路径即为☉O上劣弧BD的长.  易得弧BD所对圆心角∠BOD=120°以及圆的半径为2，则可求出劣弧BD的长为[4π3].

故填[4π3].

点评：设计定圆⊙O是解决本题的关键.

策略三、通过设计相似三角形优化解决问题

例3 如图5，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，求[APAT]的最大值.

[P][D][E][T][A][B][C][E'][P'] [P][D][T][A][B][C][F] 图5 图6

解析：∵[APAT=PT+ATAT=PTAT+1]，∴要求[APAT]的最大值，可以先求[PTAT]的最大值. 如图6，作PE⊥BD于E，AF⊥BD于F，易得△PET ∽△AFT，[∴PTAT=PEAF]. ∵AF=[3×45=125]，∴当PE取最大值时，[PTAT]取最大值.

由⊙C与直线BD相切于点E'，可想到连接CE'，延长E'C交⊙C于点P'，则P'E'即为PE的最大值，为[245]，∴[PTAT]的最大值 = [P'E'AF] = 2，∴[APAT]的最大值 = 3.

点评：设计“X”型相似三角形，把求[APAT]的最大值转化为求线段PE的最大值是解决本题的突破口.

设计几何模型，可以优化问题解决. 希望同学们在日常学习中及时归纳、总结，不断提高自己解决问题的能力.

（作者单位：江苏省兴化市楚……