平面与平面垂直性质定理推广及其应用

广东省广州市花都区秀全中学(510800)董大新

平面与平面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

如图1 如果把“垂直于交线l”这个条件放宽为“平面α内直线a垂直于平面β内的直线b”,还会有线面垂直这个结论吗?答案是肯定的.

图1

推广若两个平面垂直,且一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线,则这两条直线至少有一条与其中一个平面垂直.

证明不失一般性,对平面β内直线b与交线l的位置分类考虑:若直线b与交线l重合,如图1,则为面面垂直性质定理情形,显然直线a⊥平面β;若b⊥l,如图2,同样为面面垂直性质定理情形,可知直线b⊥平面α;若直线b斜交交线l,如图3,在直线b上取一点G,在平面β上作直线GM⊥l,与交线l相交于点M,则GM⊥平面α,GM⊥a又∵a⊥b,b ∩GM=G,∴直线a⊥平面β.

图2

图3

综上所述,不论直线的位置情况如何,两条直线都有一条直线垂直其中一个平面.这个推广在面面垂直背景下可以很轻松地寻找出新的线面垂直!非常实用.

例1如图,已知AC⊥平面CDE,BD//AC,在ΔECD中,CE=CD,F为ED边的中点,BD=2AC

(1)求证:CF//面ABE;

(2)求证:面ABE⊥平面BDE:

分析:第(1)问很易得到,取BE的中点G,则故CF//AG且相等⇒CF// 面ABE

第(2)问要证面ABE⊥平面BDE,由上述推论可知,只需在这两个面内分别找到一条线相互垂直即可,由第(1)问可知四边形ACFG是矩形,因此AG⊥GF,又因为GF不可能垂直面ABE,可断定AG⊥面BDE,从G点是中点判断AE与AB必相等.整个推理过程明确简短

例2[2012·全国卷]如图4,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.

图4

(1)证明:PC⊥平面BED;

(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小……