利用构造思想解导数综合题的五个意识

浙江省杭州外国语学校 (310023) 张传鹏

高中数学新课标中要求教师在教学中要提升学生的数学学科核心素养，即引导学生能够能从数学的角度看问题,有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力.学生在数学学习过程中进行感悟思想、经验积累，通过思考内化为自己的东西，所养成的自己独有的思考和表达问题的一种习惯，就是数学核心素养.本文结合导数章节的教学，谈如何利用构造思想去解导数综合题，在知识解决的同时，如何落实高中数学学科核心素养，从而实现了从关注知识本身到关注学生思维方式的转变，最终达到学科育人.

一、常规多次构造函数意识

评注：导数是研究函数性质的一个重要工具，在解决不等式证明等问题时，通常需要构造函数，有时候甚至需要多次构造函数.要清楚多次构造函数的目的是什么，不要盲目的进行多次构造.

二、构造利用导数几何意义的意识

图1 图2

三、构造函数解决不等式证明问题的意识

例2 设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明．

四、构造零点设而不求的意识

例3 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna，若不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的范围.

评注：在一些涉及到指数函数、对数函数的问题时，若要求函数的极值点时需要解一些超越方程，但有时是无法解出这些方程的解，此时可以巧妙的借用方程的等价条件，采用设而不求的策略，使得……