例析导数解题中的若干“陷阱问题”

广东省惠州市第一中学 (516007) 余 军 方志平

导数在高中数学的学习当中是十分重要的,导数也为函数问题的求解带来了新的视角，但由于学生对导数中一些概念理解不清，而造成解题错误的现象是屡见不鲜的.在平常的教学中，我们要注意研究易错的知识点和加强对易错问题的反思，尤其是要对“形似质异”的导数问题多加甄别.本文通过对几例导数中的“陷阱问题”加以剖析，旨在唤起大家的注意.

1.导数在解决有关函数极值问题上的陷阱

评注：函数极值、极值点的定义：如果函数f(x)在点x=x0的一个邻域(x0-δ,x0+δ)内有定义，对任意的x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，x0称为函数f(x)的极小值点.可见函数的极值f(x0)是与x0“附近”的左、右两边函数值进行比较而得知.所以极值点只能落在区间的内部，不能落在区间的端点处.

A.x=1 B.x=0 C.x=-1 D.x=-1、0或1

错解：由f′(x)=6x5-12x3+6x，令f′(x)=0，解得极值点为x1=-1,x2=0,x3=1.故选择D.

评注：使导数值为0的点不一定是极值点.如，常见的函数y=x3，在x=0处导数值为0，但x=0并不是该函数的极值点.是否为极值点，这需要根据极值点的定义进行判别.

陷阱：函数f(x)在定义域内不可导的点为x1=0,x2=2.当x变化时，f′(x)的变化情况如下表：

x-∞,0 00,1 11,2 22,+∞ f'x -不存在+0-不存在+

所以x1=0,x2=2是函数f(x)的两个极小值点，函数f(x)的极小值为f(0)=f(2)=0.从而函数f(x)的极大值为1,极小值为0.

评注：对任意函数来说，极值可能在定义域内导数为0处取得，也可能在函数不可导处取得.

例4 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10,那么a+b的值为( ).

A.-7 B.0

C.-7或0 D.以上都不对

评注：对于可导函数在极值点处导数值一定为0，但导数值为0的点……