函数有唯一零点问题的多视角分析

陕西省西安市第八十九中学 (710003) 彭文静

函数零点是连接函数与方程两大问题的桥梁，是高考复习的热点问题，该知识往往渗透于综合题中，对学生逻辑思维能力要求高.函数y=f(x)为零的自变量x的值即为函数的零点，即方程f(x)=0的根，也即y=f(x)图像与x轴交点的横坐标.其等价关系如图：

函数零点的多角度分析过程体现了转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法，笔者以一道函数零点问题为例从四个方面进行剖析.

1、题目呈现

题目当x∈(1,+∞)，函数f(x)=xlnx+(1-k)x+k有唯一零点，求距离k最近的整数.

2、具体解法

视角1：直接切入找零点，分类讨论需谨慎

点评：该解法中依据k-2与0的大小关系，将参数k分两种情况讨论.其中在情形②中，f′(x)=lnx-k+2=0在(1,+∞)有且只有一个解，该方程为超越方程，则要“虚设”零点，设而不求，然后由函数f(x0)单调性，借助零点存在性定理，凭号定论零点存在区间，这是解决该问题的核心思想，最后就是利用二分法进一步缩小根的存在区间，以此确定k的整数值.

视角2：函数角度求交点，数形结合显直观

图1

点评：该方法清晰明快，避免了参数的分类讨论，但找准两个基本函数是关键，一般以能画出两个函数图像为原则，如本题中的下凸函数图像和直线.

视角3：完全分参探性质，研究最值是关键

图2

图3

视角4：“降维”变形巧构造，等价转化是本质

函数零点是连接函数与方程两大思想问题的桥梁，而已知零点个数唯一求参数的取值范围是函数零点问题的常见题型之一，其本质是函数……