由一道题谈求弦长的三种方法

戴继龙

弦长问题一般是指求解析几何中弦的长度问题，如求圆、椭圆、双曲线、抛物线中弦的长，此类问题的计算量通常比较大，为了简化运算，我们需运用发散性思维，从不同的角度、方向寻找解题的思路，以提升解题的效率.本文以一道题为例，谈一谈求解几何中弦长的方法，

题目：已知斜率为1的直线经过抛物线y2= 4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求弦AB的长.

由题意可知，直线AB为过抛物线焦点的直线，且已知斜率，可直接根据直线的点斜式方程求得直線AB的方程，而已知抛物线的方程，可以从两点间的距离公式、弦长公式、平面几何知识等人手，用以下三种方法来求解.

一般地，解析几何中的弦为直线与曲线的交点的连线，可通过解方程组来确定两个交点的坐标，再运用两点间的距离公式来求弦长.

在运用弦长公式求弦长时，要注意构造一元二次方程，灵活运用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式来求解.此方法一般用于解答直线与曲线的交点坐标不易求得的弦长问题，

三、借助平面几何知识求解

在求解析几何中弦的长度时，我们也可将问题看作平面几何中的求线段的长度问题来求解，可首先根据题意绘制出几何图形，然后根据圆锥曲线的定义和几何性质建立线段之间的关系，再灵活运用平面几何知识，如相似三角形的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等来解题，

由于直线AB刚好经过抛物线的焦点，因此可根据抛物线的定义与性质，将|AB|转化为A、B点到准线之间的距离，借助点到直线的距离公式来解题.

由此可见，求解析几何中的弦长问题的方法有很多种，如运用两点间的距离公式、弦长公式、平面几何知识等.上述三种方法的适用范围各不相同，第一种方法适用于求解容易求得弦的两个端点坐标的弦长问题;第二种方法适用于求解弦的两个端点坐标不容易求得的弦长问题;第三种方法适用于求过曲线焦点的弦的长.

（作者单位：江苏省南通市海门第一中学）