巧用三角反代换 单位圆中破疑难

魏榜 胡凤娟 刘明华 张茜

[摘  要] 三角反代换借助单位圆直观地反映了同角三角函数的关系，不仅能快速确定一般情况f（cosθ，sinθ）=0时角θ在单位圆中的位置，还能实现三角问题向代数和几何问题的转化.

[关键词] 单位圆;三角反代换;数形结合;三角方程;三角不等式

[?]引言

三角函数在高中数学中有着相当重要的地位，在全国卷高考中大约占20至30分. 但在日常教学中发现，学生在求解三角方程问题时难以精确确定角的范围，容易出现多解漏解等情况[1]. 许多题目的解答过程尝试了多种方法对角的范围进行限制，但大多是通过运算的技巧来缩小角的范围，然而技巧较多，适应范围也较为局限，尚无一般通法.

笔者通过研究，在任意角三角函数值定义的基础上总结出了一套通过数形结合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代换法，可有效解决上述问题.

我们知道，三角代换是数学中常用的换元法之一，它能够利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，合理的代换将会使求解过程简单化，甚至使一些很难求的问题快速求解[2]. 那么，“三角反代换”会有什么样的妙用呢？

[?]三角反代换与单位圆

对任意f（cosθ，sinθ）=0 ，均有f（cosθ，sinθ）=0，

cos2θ+sin2θ=1，进行换元即三角反代换，令cosθ=x，

sinθ=y，则方程组转化为f（x，y）=0，

x2+y2=1，在由θ决定的定义域内解得（x，y）=（cosθ，sinθ）. 由于（cosθ，sinθ）与角θ相对应，记函数f（x，y）=0的图像与单位圆交点为P，P，P，…，P，则P是角θ终边与单位圆的交点，即∠xOP为所求θ（注：x为x轴正方向任意一点）.

[?]三角反代换用法举例分析

三角……