罗素悖论与罗素定理

摘 要：不能从集合论中排除罗素悖论，说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理，说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善，说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立，说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题，才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统，才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统，才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理，才能从集合论中排除罗素悖论.

关键词：罗素悖论;罗素定理;集合论公理系统;集合论定义系统

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）12-0028-02

收稿日期：2021-01-25

作者简介：王海东（1985.3-），男，河北省南皮人，硕士， 从事高中数学教学研究.

一个幽灵在集合论中徘徊，这个幽灵就是罗素悖论.

罗素悖论可以用以下公式表示：

yxx∈yxx

从这个公式来看，罗素悖论来自于集合论的一个常用语句.这个常用语句就是用属于符号∈构成的语句.由于集合论的所有表达式都离不开这个常用语句，所以集合论的所有表达式都会无一例外地受到罗素悖论的困扰.

有人认为，子集公理能够从集合论中排除罗素悖论.

子集公理可以用以下公式表示：

xyzx∈yx∈z∧px

但是，即使有了子集公理，罗素悖论仍然无处不在.因为，我们可以从子集公理中推出：

xyz（x∈yx∈z∧p（x）z∈p（x）x∈p（x）xx）

由此可见，子集公理只是把罗素悖论从某个集合推给了另一个集合.如果可以这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中.