“函数应用：停车距离问题”（第2课时）教学设计

马杰

摘  要：数学建模活动与数学探究活动的过程应包括选题、开题、做题、结题四个环节. 本节课是继学生完成开题活动后进行的做题展示交流活动. 通过课下小组合作探究成果的展示，结合形式多样、主体多元的综合评价及应用函数模型解决实际问题，使学生经历完整的数学建模过程.

关键词：数学建模;展示交流;评价;应用

一、教学内容解析

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程. 教材中有关实际问题的函数建模是在学生学习完幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质后进一步对函数应用的探究与学习，让学生感知数学与实际生活的紧密关联，从实例出发学会用函数模型来解决实际问题. 实际问题的函数建模是培养学生高层次思维、应用数学的意识、分析和解决实际问题能力的重要载体. 解决此类问题，需要熟悉问题情境，明确任务目标，探究问题中各变量之间的关系，抽象概括出熟悉的模型. 脱离以上过程则无法获得解决实际问题的能力.

本节课的教学内容是根据现实背景和来源于《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）第118页表1的数据建立的停车距离数学模型，需要使学生理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果就行车安全提出建议.

根据《标准》中对数学建模活动与数学探究活动的教学提示，将“函数应用：停车距离问题”课题研究分为三个课时进行. 第1课时，教师组织学生开展开题交流活动，开题报告应该包括选题的意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等，学生需要撰写开题报告;第2课时，教师根据学生的实际情况引导学生建立急刹车停车距离模型，理解数学模型中系数的意义，并根据模型得到的结果就行车安全提出建议;第3课时，撰写研究报告和报告研究结果，由教师组织学生开展结题答辩. 本节课进行的是第2课时的内容.

因此，确定本节课的教学重点是：让学生学会从实际问题中抽象出数学模型，经历用数学方法构建数学模型的过程，理解模型中系数的意义.

二、教学目标设置

根据《标准》要求和教学内容解析，确定本节课的教学目标如下.

（1）經历数学建模活动的基本过程，体会数学建模思想.

（2）经历从停车距离问题中抽象出数学问题的过程，发展学生的数学抽象思维能力;通过模仿学过的数学模型，选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，发展学生的类比归纳能力;从学科综合的角度分析制动过程中制动距离与速度的关系，理解模型中系数的意义，发展学生的逻辑推理能力;经历散点图与实际分析相结合，猜想函数模型并利用数据求解及检验函数模型的过程，培养学生的数学抽象与数学运算能力.

（3）感受数学来源于生活并能应用于生活，用数学来解决生活中的问题，体验数学在生活中的价值，激发学生学习数学、应用数学的兴趣. 在小组探索建模的过程中体验成功的喜悦，同时培养团队协作的意识.

三、学生学情分析

本次探究活动的对象为高二年级学生. 从知识上看，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数，对这些函数的图象和性质都有了深入的了解. 从能力上看，通过初、高中阶段的学习，学生已经具备了一些将实际问题抽象成数学问题的能力，经历基本初等函数的学习，学生具备了灵活应用函数解决数学问题的能力，高中生心智趋向成熟，具备一定的自主学习能力、模仿能力和查阅资料的能力，这为数学建模活动的顺利开展奠定了良好的基础. 但是学生所学知识有限、数学建模方法单一，数学建模过程中不熟悉数据处理软件，在具体的建模活动中会遇到很多困难，需要教师的适时引导.

因此，确定本节课的教学难点为：在数学建模活动中建立模型，并选择合适的模型.

四、教学策略分析

数学是培养并发展学生思维的重要学科. 在实际教学活动中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，让其了解探究问题的一般过程和方法. 在实际教学中，当遇到情境比较复杂的问题时，教师往往先要帮助学生“扫清障碍”，使学生把注意力集中到问题中的关键字、词、句上，理清问题中量与量之间的关系，这样学生就不会“误入歧途”，课堂教学才得以顺利进行. 在这个过程中，如果教师强加给学生“正确”的解决问题的方法，而并非由学生自己经过分析、抽象得到解决问题的方法，即使学生在课后能够做出与例题相似的题目，也并不能说明学生具备了解决问题的能力，且最终会导致很多学生遇到“老师没讲过”的题目就束手无策. 数学建模是培养学生高层次思维的重要载体. 在教学中，教师要勇于放手，要在学生独立思考和解决问题的基础上进行总结，切实提高学生解决问题的能力.

依据本节课的内容特点，结合《标准》对数学建模活动的要求，以及第1课时的内容与开展方式，本节课采用“展示—评价—总结—应用”的模式进行教学，从学生的展示活动入手，通过学生自评、互评与教师评价相结合的方式实现本节课的教学目标，突出重点、突破难点，通过模型应用不仅让学生感受到数学从实际生活中来又应用于实际生活，也让学生明白遵守法律、法规的重要性，实现本节课的育人目标. 本节课采用多媒体和信息技术辅助教学，对不同组学生的不同做法进行展示，鼓励学生积极主动地从不同角度阐述自己的想法，并及时给予肯定，使学生的数学学习更有成就感，培养学生学习数学的信心.

五、教学过程设计

本节课的课堂主体设计分为：前情回顾、交流展示、评价提升、拓展应用、反思小结、模型延伸.

1. 前情回顾

回顾梳理：教师对上节课开展的开题报告展示交流活动进行梳理总结.

【设计意图】让学生体会课题研究活动需要经历选题、开题、做题、结题的完整过程. 上节课已经完成了开题展示交流活动，接下来该进行做题展示交流活动，为引出今天的活动主题做好铺垫.

活动掠影：展示各小组课下数学建模活动的照片. 同时，教师通过激励性语言对学生课下的积极探究、团结协作予以肯定.

【设计意图】提高学生探究、学习本节课的积极性，也为本节课的开展营造良好的学习氛围.

2. 交流展示

教师课前对各小组的数学建模成果进行收集与比对，选择具有代表性的小组开展展示交流活动，但提前不告知学生，以免影响其他学生的积极性.

（1）小组1展示交流.

① 模型分析. 在驾车行驶的过程中，从司机看到意外状况的发生到决定刹车到汽车最终停止的过程中汽车行驶的距离叫做停车距离. 小组成员认为停车距离由反应距离和制动距离两部分组成，如图1所示，即停车距离 = 反应距离 + 制动距离. 设停车距离为[d]，反应距离为[d1]，制动距离为[d2]，则[d=d1+d2].

我们知道，影响停车距离的因素有很多. 例如，汽车刹车前的速度、司机的反应时间、车辆的性能、道路状况、天气状况等. 通过对实际问题进行分析，可以得到影响停车距离的主要因素是汽车刹车前的速度和司机的反应时间.

② 模型假设. 为方便研究停车距离问题，从考虑影响停车距离的主要因素——汽车行驶速度和司机反应时间的角度出发，需要进行如下假设：假设车型、轮胎类型、路面条件都相同，汽车无超载，刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况及司机状态都良好;假设汽车在平直的道路上行驶，司机紧急刹车，一脚把刹车踩到底，汽车在刹车过程中未发生转向;假设汽车在反应时间内做匀速直线运动，制动过程中做匀减速直线运动，制动力所作的功等于汽车动能的减少量.

③ 研究反应距离与速度之间的关系.

反应距离与速度之间的关系如表1所示.

结合表1绘制如图2所示的散点图. 根据散点图及实际分析，得到反应距离与速度成正比. 设想反应距离 = 反应时间 × 刹车前速度. 通过查阅资料与试验操作发现正常人的反应时间约为0.2 ～ 0.5秒.

重新建立模型. 反应距离 =[k1]× 刹车前速度，即[d1=k1v]，其中[v]为刹车前的速度，系数[k1]为除汽车速度外反应时间及其他因素对反应距离的综合影响. 将速度与反应距离分别代入[d1=k1v]求出相应的[k1]的值，再求出其平均值作为[k1]的值，得到[d1=0.209 633 346v].

⑤ 研究制动距离与速度之间的关系.

制动距离与速度之间的关系如表3所示.

总结：通过对比发现误差较小，小组成员一致认定此模型成立.

【设计意图】小组展示交流活动是本节课非常重要的一个环节，是本节课实现教学目标、突出教学重点、突破教学难点的有力活动支撑，也是对课下小组探究活动的进一步肯定，为接下来的评价环节奠定了基础.

3. 评价提升

（1）学生自评（小组代表对本小组的模型自评）.

小组1展示代表评价自己小组的建模过程思路清晰，过程是最完整的.

小组2展示代表评价自己小组借助信息技术进行数学建模，方法是最好的.

小组3展示代表评价自己小组的方法独树一帜，建模过程简单、快捷.

（2）小组互评.

开展课堂小组讨论活动，通过小组内部讨论，结合自己小组的建模情况选定一个模型进行评价，每个小组选派一名代表发言.

小组1学生代表：评价小组2的模型. 首先，小组2运用信息技术建模，使得建模过程更加简便;其次，小组2在面对趋势线与散点图吻合程度较高的模型时运用数据比对选择函数模型，使得模型误差较小，值得学习. 但他们没有考虑影响停车距离的主要因素——反应时间.

小组2学生代表：评价小组3模型. 小组3运用整体思维对模型进行了认知，简化建立模型的过程，但小组3没有考虑影响停车距离的主要因素——反应时间，检验模型的过程数据比对较少，准确性值得考量.

小组3学生代表：评价小组1的模型. 小组1的建模过程有两个优点. 其一，对模型进行了假设，排除其他因素对建模的影响;其二，小组1善于从所学的“茶水最佳饮用时间”模型中汲取方法并为己所用，学以致用和独特的思维值得学习. 但是在模型检验环节数据比对较少，误差大小有待考量.

小组4学生代表：评价小组2的模型. 小组2与自己小组的建模方式类似，结果相同，但解决问题的过程中小组2对散点图与趋势线吻合程度较高的趋势线进行数据对比，選择误差较小的模型，有利于减少误差.

小组5学生代表：评价小组3的模型. 小组3的建模方法比较独特，直接研究停车距离与速度之间的函数关系，方法便捷，减少了很多运算过程.

小组6学生代表：评价小组1的模型. 小组1通过试验和查阅资料进行模型检验后重新建立模型，做得非常好. 自己小组在建模过程中没有考虑到这个问题.

【设计意图】通过自评与互评，让学生感受相互学习、交流的重要性和必要性，在发现他人优点的同时也关注建模活动过程中存在的问题，为后期改进、优化模型奠定基础. 同时，让更多学生参与到课堂活动中去.

（3）教师评价. 教师对三个模型进行总结性评价.

① 从误差分析的角度对模型进行评价.

方式1：“点差法”比较误差，如表9所示.

“点差法”来源于学生，实质是将函数模型值与对应实际值做差，通过观察、比较，选择偏差较小的模型. 基于“点差法”引入“平均误差法”，具体是对函数模型值与对应实际值做差，求结果的绝对值，再将所有绝对值的平均值作为“平均误差”比较误差.

方式2：“平均误差法”比较误差，如表10所示.

② 从数学建模的过程对模型进行评价.

首先，教师从什么是数学建模活动及函数建模基本步骤的角度出发，让学生理解数学建模活动及其基本步骤. 提出问题，让学生思考三个模型中哪个模型的建模过程更加完善. 其次，教师带着学生一起总结回顾小组1的数学建模过程. 最后，鼓励学习小组之间相互学习、取长补短，对自己小组的模型进行优化.

【设计意图】教师评价环节是非常重要的一个环节，不仅是教师“教”的主导地位的重要体现，也是实现本节课教学目标、突出重点、突破难点的重要载体.

4. 拓展应用

应用1：法律、法规中相关数据的解释.

《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯. 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米.

《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，应当依照本法第五十二条的有关规定办理;但是，警告标志应当设置在故障车来车方向一百五十米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警.

问题：结合我们所建立的函数模型，说一说法律法规中出现的数据“50米至100米”“100米以上、不得少于50米”“一百五十米以外”建立的依据是什么？

例如，选择误差较小的模型[d=0.010 6v2-0.410 2v+][16.669]来解决问题，如表11所示.

【设计意图】利用模型解决实际生活中的问题，让学生感受数学来源于生活、应用于生活，从而解决生活中的问题，是实现本节课育人目标的重要载体. 让学生了解法规内容，体会法规中数据的科学性，明确遵守法律、法规的重要性，也为行车安全提出了建议.

5. 反思小结

学生回忆本节课的主要内容，教师引导学生从多方面来叙述，学生自述，教师补充总结，完善板书. 由于时间关系，很多学生都意犹未尽，课下让学生写下学习本节课的收获与体会.

（1）函数建模的基本步骤，如图13所示.

[实际背景分析发现][提出问题数据采集][分析] [实际问题的解][检验函数模型][求解函数模型][符合实际] [选择函数模型] [不符合实际][图13]

（2）学法、知法、守法.

6. 模型延伸

（1）问题思考.

《中华人民共和国道路交通安全法》第二十二条：机动车驾驶人应当遵守道路交通安全法律、法规的规定，按照操作规范安全驾驶、文明驾驶. 饮酒、服用国家管制的精神药品或者麻醉药品，或者患有妨碍安全驾驶机动车的疾病，或者过度疲劳影响安全驾驶的，不得驾驶机动车. 任何人不得强迫、指使、纵容驾驶人违反道路交通安全法律、法规和机动车安全驾驶要求驾驶机动车.

提出问题：司机疲劳驾驶或酒后驾驶对停车距离有什么影响？

【设计意图】问题思考的设置既是课堂育人功能的延伸，也为下一次数学建模活动的开展做好铺垫.

（2）作业布置.

基础作业：完成学案上的第1小题和第2小题.

【设计意图】学生独立完成，考查学生结合数据选择函数模型及应用函数模型解决问题的能力.

拓展作业：① 完成“函数应用：停车距离问题”课题研究结题报告;② 以小组为单位收集司机在疲劳驾驶或酒后驾驶的状态下停车距离的相关数据，为下一次数学建模活动课做好准备.

【设计意图】为第3课时结题交流活动的开展和下一次数学建模活动做好准备，课后小组合作完成.

六、课后反思

本节课的教学设计建立在“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念上，融入了《标准》的思想内涵. 《标准》明确指出要让学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调了学生亲身经历建模过程的重要性. 因此，本节课从学生的展示活动出发，通过学生的展示，结合学生和教师的评价实现本节课的教学目标，设计中突出体现了学生的主体地位. 经历了数学建模教学实践活动后，对于数学建模活动的开展有以下几点思考.

1. 数学建模活动的开展应该常态化、系列化

在实际教学活动中，有些教師和学生对数学建模的重视程度不够，在教授这部分内容时，按照教材完成教学任务后将更多的时间留给了“刷题”. 这次建模活动中学生表现出非常高的积极性，学生的综合能力得到了明显提升. 数学建模活动的开展应该常态化、系列化.

2. 教师指导学生应注意“度”的把控

学生在课下进行探究活动时，教师应该及时关注学生，在必要的时候给予学生指导. 在日常教学过程中，教师常常强加给学生“正确”的解决问题的方法，而不是让学生自己经过分析、抽象得到，这样学生解决问题的能力并不能得到真正提升. 因此，对学生的指导应该注意“度”的把握，应该如何把握“度”还需要教师在教学实践活动中慢慢体会.

3. 尝试让学生亲历选题

本次建模活动是在给定课题和相关数据的基础上完成的，学生未经历选题和收集数据的过程，后期开展建模活动时可以尝试让学生经历讨论选题和收集数据的过程，这更有利于提高学生学习的积极性.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃，张艳娇，金克勤. 数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施[J]. 中学数学教学参考（上旬），2020（5）：13-19.

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