函数与不等式齐驱并驾 多角度解决最值问题

张培杰 韩业

摘 要：最值问题能考查学生推理、转换、归纳等综合数学能力，每年高考都会出现. 在高中数学教学中，最值问题的有两个主要的解决策略，一是转换成函数，利用函数性质求解，二是利用不等式求解.2020年全国Ⅱ卷第21题第（2）问是典型的最值问题，本文分别从函数性质和不等式的角度给出不同的解答，以总结出一般的思路步骤，供复习参考.

关键词：最值问题;函数;不等式;一题多解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0037-03

一、真题再现

（2020年全国Ⅱ卷第21题）已知函数f（x）=sin2xsin2x.

（1）讨论f（x）在（0，π）的单调性;

（2）证明：f（x）≤338;

（3）证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.

通过观察题目发现，该题以三角函数为背景，考查判断函数在区间内的单调性、求函数值域、不等式证明等多个知识点. 题目综合性强，难度较大，对考生的逻辑推理能力和运算能力有较高的要求，很好的体现了课程标准要求的核心素养导向，具有高考命题需要的区分度. 下面重点给出第（2）问的一题多解，对于第（1）、（3）问仅给出一种可行的解答.

二、真题解析

（1）分析 要讨论函数f（x）在区间内的单调性，只需要求导，由导函数值在区间内的正（负）可得到原函数在区间内单调递增（减），该题是常规考法.

解答 对函数f（x）=sin2xsin2x求导，得f ′（x）=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sin2x（2cos2x+1），

当x∈（0，π）时，令f ′（x）=0，得x=π3或x=2π3.

1°当x∈0，π3∪2π3，π时，f ′（x）>0;

2°当x∈π3，2π3时，f ′（x）<0.

因此，f（x）在（0，π）上的单调增区间为0，π3和2π3，π，减区间为π3，2π3.

（2）要想证明f（x）≤338，只需要证明-338≤f（x）≤338即可.

分析1 直接求导，利用函数单调性求最值. 要想求出函数的最值（取值范围），借助导数先判断单调性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助导数解答这个问题.

解……