数学命题的变革：知识、能力、素养

孙延洲　宋承洋

摘  要：2020年全国各地区中考试卷中有关“数与式”的内容注重考查核心概念、性质、法则和运算. 在命题上，突出了从知识、能力立意到素养立意的导向，关注了学科的课程目标，加强了对数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识的考查.

关键词：中考试题;命题分析;数与式;数学素养

通过对2020年中考试题的研究，发现中考数学命题特点已悄然发生变化，命题从关注对知识面的覆盖，到关注对基础知识、基本技能、智力、能力的考查，再到不仅考查基础知识和基本技能，也关注知识的迁移和后天素养的习得. 这从2020年中考试卷中“数与式”内容的命题中得到了充分的体现. 2020年全国各地区中考试卷中“数与式”内容的考查遵循了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的要求，既与现行课程改革发展理念相吻合，又从知识到能力再到素养导向变化，体现出从关注知识的掌握到关注人的发展;考核目标从一般性的问题解决到探究能力的考查;问题情境从学科性的知识到真实性的情境变革. 对《标准》中提到的数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等几个关键方面都有涉及，比较好地体现了中考的命题导向功能.

一、“数与式”内容的主要考点

《标准》中对“数与式”的要求为：理解有理数、实数、代数式等，掌握必要的运算（包括估算）技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式进行表述的方法. 通过用代数式等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识，初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力. 主要包括数与式的有关概念和运算，以及用数或式表示各种情境中的数量关系，它们是初中数学中最为基础的内容.“数与式”属于“数与代数”这一领域，包含了数与式的认识、数与式的表示、数与式的运算、数量的估算、数与式的应用等. 其主要知识结构如图1所示.

从内容构成來看，“数与式”内容不仅是方程（组）、不等式（组）、函数等“数与代数”领域所需要掌握的基础知识，而且是“图形与几何”“统计与概率”等领域解决问题中有关数量表达与计算的基础;从数学思想方法的角度来看，这部分知识所蕴涵的思想方法既与后续所学内容有共性之处，又对后续知识的学习具有十分重要的迁移和借鉴意义. 此外，“数与式”内容中所渗透的数感和符号意识也是理解方程和函数意义的本质及进行相关运用的基础. 因此，这部分内容的考点主要是围绕数与式的基础知识和基本技能，突出基本的数学思想和学生积累的基本活动经验进行考查. 2020年全国各地区中考试题单纯考查“数与式”内容的题型，主要出现在选择题或者填空题，分值约为3分，也有少数出现在综合题中，分值约为4 ～ 8分;其他涉及“数与式”的内容，主要与其他领域知识一并综合考查，全卷“数与式”内容的试题分值与全卷总分值的比在15% ～ 30%之间，与教材中“数与式”课时量占总课时的比例相当，符合《标准》的要求.

二、命题的主要特点

综观2020年全国各地区中考试卷中“数与式”部分，在关注考查基础知识的同时，特别凸显了对核心概念、数感、符号意识、运算能力、数学思想、应用意识的考查.

1. 突出对核心概念、重要知识的考查

小学数学主要是“算”，这既是学习内容，也是由学生的认知发展水平决定的;对中学数学而言，从某种意义上说，数学的核心概念和重要性质的掌握是基于数学学科内容体系、学生认知水平和发展规律确定的，是实施数学教学活动的基础，是实现课程目标的主要依据.

（1）直接对核心概念、性质进行考查，题型源于教材.

例1 （辽宁·辽阳卷）-2的倒数是（  ）.

（A）[-12] （B）-2

（C）[12] （D）2

例2 （辽宁·营口卷）-6的绝对值是（  ）.

（A）6 （B）-6

（C） [16] （D） [-16]

例3 （山东·淄博卷）若实数a的相反数是-2，则a等于（  ）.

（A）2 （B）-2

（C）[12] （D）0

【评析】以上三道题直接考查有理数中的三个核心概念. 试题的条件、问题简单明了，凸显所考知识的基础性及其基本的认知要求. 例1考查倒数的概念;例2考查绝对值的概念;例3考查相反数的概念，取材于人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）七年级上册第10页的“归纳与思考”. 对单个概念的考查属于知识性立意试题，突出了基础性，一般位于全卷选择题的前三道题或者填空题的前三道题，各地试卷大体相同，在此不一一举例说明.

（2）关注核心概念、性质的几何意义，体现数学思想.

例4 （湖南·郴州卷）图2中表示互为相反数的两个点是（  ）.

（A）点A与点B （B）点A与点D

（C）点C与点B （D）点C与点D

例5 （北京卷）实数[a]在数轴上的对应点的位置如图3所示，若实数[b]满足[-a<b<a]，则[b]的值可以是（  ）.

（A）2 （B）-1

（C）-2 （D）-3

【评析】以上两道题以数轴为载体考查了相反数和数的大小比较，体现了一定的综合性，不仅是对知识的直接考查，而且强调了数学思考，关注了数形结合这一数学思想方法，体现了实数与数轴上的点是一一对应的关系.

2. 突出对数学能力的考查

“数与式”这部分内容与数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念直接关联. 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟能力;符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;掌握使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性的能力.

（1）对数感的考查.

《标准》明确指出：数感能力的培养在于理解现实生活中数的意义;能用多种方法来表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释.

例6 （湖南·株洲卷）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如下图所示，其中最接近标准质量的元件是（  ）.

[（A）][+1.2] [-2.3][（B）] [+0.9][（C）] [-0.8][（D）]

例7 （贵州·黔东南州卷）实数[210]介于（  ）.

（A）4和5之间 （B）5和6之间

（C）6和7之间 （D）7和8之间

【评析】音乐有“乐感”，语文有“语感”，数学也有“数感”. 一个人一旦有了数感，就能将数与实际背景联系起来，用数学的方式思考问题. 数感使人眼中看到的世界有了量化的意味，当遇到可能与数学有关的具体问题时，能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理和解释. 例6体现了建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系. 例7是考查学生对数的估算能力. 可见，数感是学生需要具备的基本数学素养，培养学生的数感是数学学科的基本任务之一. 当然，数感的形成不是一蹴而就的，而是需要一个渐进、沉淀、积累的过程.

（2）对思维能力的考查.

数学是一个符号化的世界. 数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思想交流与传播的载体. 从某种意义上说，体现了一个人的数学逻辑思维水平.“数与式”内容主要考查的是能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道数量关系和变化规律;理解符号所表示的数量关系和变化规律;可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.

例8 （重庆A卷）把黑色三角形按如图4所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（  ）.

（A）10 （B）15

（C）18 （D）21

例9 （甘肃·天水卷）观察等式：2 + 22 = 23 - 2;2 + 22 + 23 = 24 - 2;2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2;…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100 = S，用含S的式子表示这组数据的和是（  ）.

（A）2S2 - S （B）2S2 + S

（C）2S2 - 2S （D）2S2 - 2S - 2

【评析】对于初中数学教学，数学符号的学习是整个教学中不可或缺的組成部分，在人们进行数学逻辑推理、数学计算及解决数学问题上都扮演着重要的角色. 数学符号通常可以将抽象的数学问题通过最形象、最简单的抽象符号来准确、清晰地表现出来，以便于人们进行各种不同的数学交流与学习.

例8和例9需借助观察与归纳思考，用代数式表示出情境所蕴含的规律. 正确解答这样的题目的基础在于对所给的示例进行观察、操作、对比与分析，从中归纳与概括出所体现的规律. 因此，这类题目是考查合情推理能力和符号意识的常用手法. 例8取材于人教版教材七年级上册第72页的“数学活动”，以及九年级上册第23页的“数学活动”. 例9在考查数式的同时，综合考查方程思想，突出对数学思想方法、解决问题能力的考查.

3. 突出对数学素养的考查

数学素养反映对数学本质与数学思想的理解，是在数学学习过程中形成的，具有全面性和综合性. 一般而言，数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析. 在“数与式”部分主要考查学生的数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象等方面的素养.

（1）注重运算顺序、运算法则、逻辑推理的考查.

运算能力主要是指能够根据法则、公式和运算律正确地进行运算的能力. 对运算能力的要求可以概括为“准确、熟练、合理”六个字，而且反映出重在对算理和算法的考查，并对计算和运算的灵活性与实用性也有一定的要求.

例10 （甘肃·武威卷）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动. 某款式眼镜的广告如图5所示，试为广告牌填上原价.

例11 （上海卷）计算：[2713+15+2-12-2+][3-5].

【评析】实数的运算法则是极为重要的基础知识，有必要进行针对性考查. 上述例题以不同的方式考查了学生对运算法则和运算性质的掌握情况. 例10赋予一定的生活背景考查有理数的运算;例11综合考查学生对实数的运算能力，以及对运算法则、运算律的运用.

例12 （四川·成都卷）下列计算正确的是（  ）.

（A）[3a+2b=5ab] （B）[a3 · a2=a6]

（C）[-a3b2=a6b2] （D）[a2b3÷a=b3]

例13 （河北卷）墨迹覆盖了等式“x3 x = x2（x ≠ 0）”中的运算符号，则覆盖的是（  ）.

（A）+ （B）-

（C）× （D）÷

例14 （湖北·鄂州卷）先化简[x2-4x+4x2-1÷][x2-2xx+1+][1x-1]，再从-2，-1，0，1，2中选一个合适的数作为[x]的值代入求值.

【评析】掌握数与式的运算及变形的技能，是学习数与式的重要目的之一，也是提高运算能力的重要基础，有必要进行针对性的考查. 例12综合考查了基本的运算法则;例13考查了学生的逻辑推理能力;例14全面考查分式的化简求值，体现了一定的开放性.

（2）突出对模型思想、应用意识的考查.

模型思想一种基本的数学思想，将模型思想渗透到数学课堂教学中可以有效培养学生的思维，使其快速抓住问题的本质，从而有助于提高学生解决问题的能力.

例15 （山东·枣庄卷）图6（1）是一个长为[2a、]宽为[2b a>b]的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图6（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（    ）.

（A）[ab] （B）[a+b2]

（C）[a-b2] （D）[a2-b2]

【评析】例15取材于人教版教材八年级上册第109页的“思考”. 例15以式的建立和表达为基础，把图形中蕴含的数量关系与式的表达有机地结合起来，考查学生运用代数与几何的相关知识解决问题的能力，突出了对数形结合思想的考查.

（3）突出抽象能力及综合实践能力的考查.

例16 （湖北·武汉卷）图7中所有小正方形都是全等的. 图7（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图7（2）是一张由6个小正方形组成的3 × 2方格纸片. 把“L”形纸片放置在图7（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有图7（3）中的4种不同放置方法. 图7（4）是一张由36个小正方形组成的6 × 6方格纸片，将“L”形纸片放置在图7（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（  ）.

（A）160 （B）128

（C）80 （D）48

【评析】规律探索型问题是近年来中考数学的热点题，这种题型可以考查学生观察、比较、探索问题的能力. 例16取材于人教版教材七年级上册第73页“活动3”. 观察图形可知图7（4）中共有 40个3 × 2的长方形，由图7（3）可知，每个3 × 2的长方形有4种不同的放置方法，则n的值是 160. 此题不需要烦琐的计算，只需要简单的逻辑推理即可解决.

（4）突出对“数与式”中数学文化的考查.

依托数学文化，感受数学魅力，是2020年全国各地区中考的一大特色. 这种知识与知识的融合，知识与数学文化之间的融合，让学生在解题过程中能充分感受到数学的魅力和丰富的文化内涵.

例17 （江西卷）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图8），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10. 在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位. 根据符号记数的方法，如图9所示的符号表示一个两位数，则这个两位数是________.

【评析】通过古巴比伦人使用的楔形文字中的符号语言，介绍了世界古文明和数学史. 现实生活中蕴含着大量与数量、实物图形有关的问题. 这些试题活而不难，让知识和文化融合.

例18 （湖南·湘潭卷）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献. 在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表所示.

表示多位數时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空. 示例如________，则________表示的数是________.

【评析】例18取材于人教版教材七年级上册第21页“实验与探究：填幻方”. 例18以传统数学知识为问题背景考查数与式，弘扬了中华优秀传统文化，使学生感知到我国古代数学的成就和特点，有利于引导学生了解中国的数学文化，激发爱国热情，发挥中考试题的育人功能.

三、启迪与思考

1. 重视对核心概念、性质的理解与运用，回归教材

“数与式”的内容概念多、知识点分散，直接涉及“数与式”内容的试题难度不大，但有些学生在复习时认为这部分内容很容易，因为忽视而丢分. 一般来说，中考中大部分“数与式”试题来源于教材，重视基础知识，突出教材的教学功能. 所以，中考复习要注意回归教材，围绕教材回忆与梳理知识点，对教材中要求掌握的概念、定理、公式要做到熟记于心.“数与式”内容主要包括数与式的有关概念和运算、用数或式表示各种情境中的数量及数量关系，这是初中数学中最基础的内容. 可以发现，2020年多数中考试题素材都来源于教材，采取整合、引申与加工等方式进行创新改编. 这样有利于为所有学生创设一种熟悉的场景，能避免出现某些对学生来说非常陌生的情境. 中考命题坚持回归教材，有利于引导教师研究教材、理解教材、用好教材，帮助学生走出“题海”.

2. 加强对运算法则的理解，注重用通性、通法解决问题能力的培养

强调用通性、通法解决数学问题的能力，是数学教育教学的共识. 教师要重视教材，尤其重视对教材中的核心概念的理解，对运算公式、法则的形成过程和例题的典型作用要仔细研究，关注数与式的算理，对于数式运算的通性——运算律，要深刻领悟和掌握，并围绕问题寻找通性、通法，让学生通过研究数学问题的过程而达到灵活应用、触类旁通的效果. 在中考复习过程中，教师应该重视引导学生加深对法则的理解. 教师在教学过程中要起到示范作用，教师的板书、强调是必不可少的. 规范学生的运算习惯、书写习惯，有计划、分阶段地开展运算能力训练，这样既可以让学生在复习阶段静下心来，找到通性、通法，也可以提高学生的计算能力.

3. 注重思维训练、提高应用意识，注重数学素养的提升

数学是思维训练的重要体现. 在“数与式”内容的复习阶段，教师应当以提高学生的应用意识与思维能力为基础，切实将课堂的主动权交还给学生;注重对教材中的“实验与探究”“归纳总结”“阅读与思考”“数学活动”等内容进行再开发与研究. 通过有效的引导与帮助，促使学生多元化发展，切实提高课堂教学的有效性，使数学学习具有针对性. 在“数与式”内容的教育教学中，要坚持在数学素养上做文章，给教师的教学、学生的学习指明教与学的方向;对典型数学问题进行分析、解构与拓展，要把握数学问题的实质. 只有透彻理解数学课程内容所涵盖的知识、能力、数学思想和基本活动经验，才能以不变应万变. 这样也可以让学生在浩瀚无边的题海中，把问题分类、归纳，然后根据不同的类别在复习时加以归纳、提炼和升华，以达到培养学生的数学素养的目的.

四、模拟训练题欣赏

1. 计算[-2-1]的结果是（    ）.

（A）-3 （B）-2

（C）-1    （D）0

参考答案：A.

2. 下列各组数中，互为相反数的是（    ）.

（A）2与[12] （B）[-12]与1

（C）-1与[-12] （D）2与[-2]

参考答案：C.

3. [-13]的倒数是（    ）.

（A）3       （B）-3

（C）[-13]   （D）[13]

參考答案：B.

4. 海洋总面积约为36 105.9万平方千米，用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（    ）.

（A）3.61 × 108平方千米

（B）3.60 × 108平方千米

（C）361 × 106平方千米

（D）36 100万平方千米

参考答案：A.

5. 吋是电视机常用规格之一，1吋约为拇指上面一节的长（如图10），则7吋长相当于（    ）.

（A）课本的宽度 （B）课桌的宽度

（C）黑板的高度 （D）粉笔的长度

参考答案：A.

6. 实数[a，b]在数轴上的位置如图11所示，则下列各式正确的是（    ）.

（A）[-a>-b]   （B）[a>-b]

（C）[a<b] （D）[a>b]

参考答案：D.

7. 下列等式一定成立的是（    ）.

（A） [9+16=9+16]

（B） [a2-b2=a-b]

（C） [4×π=4×π]

（D） [a+b2=a+b]

参考答案：C.

8. 如图12，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和[3]，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（    ）.

（A）[-2-3] （B）[-1-3]

（C）[-2+3] （D）[1+3]

参考答案：A.

9. 任何一个正整数[n]都可以进行这样的分解：[n=s×t]（[s，t]是正整数，且[s≤t]），如果[p×q]在[n]的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称[p×q]是[n]的最佳分解，并规定[Fn=pq]. 例如，18可以分解成[1×18，2×9，3×6]这三种，这时就有[F18=36=12]. 给出下列关于[Fn]的说法：（1）[F2=12;]（2）[F24=38];（3）[F27=3];（4）若[n]是一个完全平方数，则[Fn=1]. 其中正确说法的个数是（    ）.

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

参考答案：B.

10. 把a3 - ab2分解因式的正确结果是（    ）.

（A）（a + ab）（a - ab） （B）a（a2 - b2）

（C）a（a + b）（a - b） （D）a（a - b）2

参考答案：C.

11. 对于任何实数，我们规定符号[ac] [bd]的意义是[ac] [bd]=[ad-bc]. 按照这个规定试计算：当[x2-3x+][1=0]时，求[x+1x-2] [3xx-1]的值.

参考答案：1.

12. 如图13，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.

（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积;

（2）当a = 6，b = 4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长.

参考答案：（1）ab - 4x2;（2）[3].

13. 计算：[-83--19+2cos60°+2-32×27].

参考答案：2.

14. 先化简代数式[aa+2+2a-2]÷[1a2-4]，然后选取一个合适的a值，代入求值.

参考答案：[a2+4].

参考文献：

[1]孙延洲，肖文记. 2016年中考“数与式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（初中版），2017（1 / 2）：21-32.

[2]任子朝. 从能力立意到素养导向[J]. 中学数学教学参考（上旬），2018（13）：1.

收稿日期：2020-10-20

作者简介：孙延洲（1972— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学和课程教材研究.