浅谈平面向量数量积中的一题多解教学

刘春

摘要：著名数学教育学者波利亚在其著作《怎样解题》中说过：“掌握数学意味着什么？就是说善于解题。”[1]他认为中学教学的首要任务就是“加强解题的训练”，甚至美国数学教师联合会把解题提高到了“学校数学核心”这一高度。而“一题多解”可以开阔学生思路，发散学生思维。尤其是平面向量自2000年回归高考后，数量积求法问题就一直是高考选填题中的热点内容，经常处于压轴题位置。而学生掌握情况不尽如人意，因此笔者将以19年天津高考卷（理）14题的教学为例，浅谈一题多解在教学中的应用。

关键词：一题多解;数量积;图形;建系

题干：在四边形ABCD中，AD//BC，，AD=5，∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则_____________.

关于本题教学过程如下：

问题1：数量积求值的方法有哪些？

生1：定义法 投影法

生2：特值法

生3：向量分解法

生4：坐标法

生5：利用极化恒等式

问题2：这道题不适宜用哪些方法？说明理由

生6：不适用定义法，因为目标向量模长夹角均不清楚

生7：也不适用投影法，目标向量关系太模糊，投影不容易看出来

生8：亦不适用极化恒等式法，两向量所在的有向线段起点不重合，并且移到同一起点后终点连线所在有向线段模长也不是定值

生9：该题干具有太多数量关系，几何关系，相互制约，不宜特殊化

师：同学们回答的都很好，数量积的求值方法是很多的，但是对于特定的题目我们要找到最适合他的方法就需要我们清楚每种方法下所对应的典型条件

问题3：回到这个问题本身，当你看到题干中如此多的数量和几何关系，你的第一想法是什么？……