以 “不变”应 “变化”，构建模型解决问题

徐婉婷

摘 要：在小学阶段，解决问题能体现学生综合运用知识和技能的能力，体现学生应用意识。本文以人教版五年级下册《排水法解决体积问题2》为课例研究，探索抽出问题本质构建解题模型在实际教学中的应用与实践。通过提炼不同问题中蕴含的模型，在练习中夯实模型思想，最后再拓展深化模型思想。

关键词：排水法;体积问题;解决问题;构建模型

在小学数学新课标中明确写出：要求学生具有解决问题的能力，能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性。而在实际教学中发现，解决问题一直是学生的难点，也是老师们的心头之痒——明明觉得自己讲得很清楚，怎么学生就不会做呢？笔者认为，出现这样的情况很大原因是因为学生只是做一题会一题，不理解问题之间“不变”的实质，因此老师应该引导学生发现问题的本质，构建模型，夯实模型。现以人教版五年级下册《排水法解决体积问题2》为课例展开研讨。

一、以“多变”问题提炼“不变”模型

《排水法解决体积问题2》课例是“求不规则物体的体积”中的一种有效方法，是学生在学习了长方体、正方体这两种规则的立体图形的体积计算方法后的学习，其核心思想是将不规则物体转化为规则物体后再求体积。这一内容注重培养学生对知识的迁移能力，运用“转化”的数学思想方法。排水法解决体积问题变化方式非常多，但都离不开三种情况：水体上升、水体下降、水体溢出。

利用电脑动画分别演示三种情况，引导学生观察，不管是水体上升、下降还是溢出，浸没物的体积其实就是水体变化的体积，再变化情况，引入干扰项，帮助学生进一步明确“浸没物”和“水体变化”的意思，让学生初步构建解题模型。

当学生经过“多变”情况后，对排水法解决体积问题中的核心规律已经有了初步认识，这时需要老师进一步引导学生，以构建模型。利用情况三中铁球的不同情况引导学生明确：物体必须是浸没在水中的才需要考虑。再归纳：不管是水面上升、下降还是溢出，其实都是水体发生了变化。从而得出“不变”的规律：浸没物体的体积=水体变化部分的体积。再利用以下步骤进行解题，这一类问题就能迎刃而解了。

①浸没物体是（              ），水体变化部分是（            ）;

②能直接求出（              ）的体积;

③问题解决了吗？

二、以“变化”问题夯实“不变”模型

当学生理解了这一问题的不变规律后，还需要在“千变万化”的问题中运用，以夯实初成的模型。因此我顺势提供部分数据，让学生在应用中进一步感悟模型的魅力。

我根据情况一给出相关数据，让学生根据图示，提炼成问题后，引导他们先准确判断浸没物体和水体变化分别是什么，再根据已知条件求出直接体积，从而解决问题。同时给出干扰条件：整个水面高度，让学生在思辨中更明确解决问题的核心是水体变化的部分，而不是整个水体。

而情况二中，我变化了问题，学生能直接求的是小方块的体积，从而得知水面下降部分的体积，但问题并没有解决，还需要利用体积、长、宽，求出下降的高度。只要紧抓浸没物体体积=水体变化部分体积这一不变规律，再根据三部解题模型，不管是多么变化多端的问题都能解决。

当学生尝到模型解题条理性带来的便捷，正兴致高涨时，我马上又呈现变形题，引导学生根据不变规律，利用模型进行解题。

【例题1】在一个长20dm，宽10dm，高5dm的水池中注入水，水高4dm，然后把一条石柱横卧完全浸入池中，水池溢出了40L水。石柱的体积是多少？

在学生们判断浸没物体和水体变化部分时发生了小分歧，因此我组织了同桌讨论。随着汇报分享，大家都逐渐明晰了本题中水体变化的部分包括水上升部分+水溢出部分，这时浸没物体的体积应等于水上升部分+水溢出部分，进一步理解了水体变化部分的意义。适时引导学生应根据题目准确找到浸没物体和水体变化部分（即不变规律），才能正确解题。

在解决问题中，只要我们指引着学生在各种繁杂的问题中抓好不变的规律，构建解题模型，学生解起题来就能水到渠成了。

三、以“改变”问题拓展“不变”模型

在试教过程中，笔者发现，随着学生掌握了解题模型，其做题速度明显提高了，于是我设置了两道改变较大、难度更大的题目，以提高学生对解题思路的理解。

在例题2中我设置了物体并没有完全浸没的情况，让学生展开讨论，浸没物体和水体变化部分分别是什么。经过前面的学习，学生们很快得到了一致的结论——浸没在水中的两根石柱才能算浸没物体，露在水面上的部分不算，帮助学生进一步理解浸没物体的意义。

【例题2】在一个长12dm，宽10dm，高5dm的水池中注满水，然后把两条长4dm，宽2dm，高8dm的石柱立着放入池中，水池溢出水的体积是多少？

到此，学生们对于用排水法解决体积问题已经有了较深的认识了，于是我让学生尝试做例题3，作为拓宽学生思维的提升题。

【例题3】在一个高6dm的长方体水池中注入3dm高的水，然后把一条高15dm，底面积是4dm2的石柱立着放入池中，这时水面高5dm。求长方体水池的底面积。

学生在读题后很自然的去寻找浸没物体和水体变化部分分别是什么，他们很快就准确找到水体变化部分（水面上升部分），但对于浸没物体部分产生了非常激烈的讨论，一部分同学认为应该是长方体原浸没的部分，另一部分同学则认为应该包括水面上升后浸没的部分。老师让同学们畅所欲言，最终同学们根据他们对“浸没物体”的理解，同意第二种想法：从黄线到蓝线的部分也是被水浸没的，也应该属于浸没物体，因此本题中的浸没物体应该是蓝线以下的部分。

通过多變的题目，改变不同的条件，形成多样的问题，让学生们理解并深刻认识到，只要抓紧不变的规律，构建模型就能顺利解决问题。解决问题的本质是万变不离其宗的，只要我们带领着学生抓紧不变规律的这条线，同学们就一定能钓到解决问题这条大鱼的。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准【M】北京：北京师范大学出版社，2012.