2021 年新高考全国数学卷导数试题分析与探究

李海北

（厦门双十中学，福建 厦门 361009）

2021 年教育部考试中心共命制了两套不分文理的新高考数学试卷，两套试卷的压轴题都是导数应用的试题，体现了对函数主线的重点考查.导数试题除了考查常规的函数单调性外，重点考查了函数零点个数和函数极值点偏移问题.

一、函数零点个数问题

研究函数f(x)的零点个数，一般是先确定f(x)的单调区间.如果f(x)在区间D 内单调，且在区间D 内存在x1、x2，满足f(x1)＜0,f(x2)＞0，那么f(x)在区间D内有唯一零点.而对于含参数的函数f(x)，除了可以直观判断的一些特殊点外，要在区间D 内直接找到x1和x2常常是很困难的.如果将f(x)中的指数函数或对数函数放缩为幂函数，并保持放缩后的新函数在区间端点的极限不变，再通过放缩后的函数找“点”，难度就大大降低了.

不难证明下列不等式，它们可用于函数的放缩.

依此类推，可以得到更多的不等式.当然，在解答题的求解过程中，用这些不等式必须先给出证明.

例1（2021 年新高考全国Ⅱ卷第22 题）已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点.

分析与探究第（1）题是常规题.对于第（2）题，若选①，由（1）知，f(x)的增区间是(-∞,0)，(ln 2a,+∞)，减区间是(0,ln 2a).

因为b＞2a＞1，所以f(0)=-1+b＞0（x=0 是可以看出一个特殊点）.要证明f(x)有一个零点，一是要证明f(x)的极小值f(ln 2a) ＞0，二是要找到一个x0∈(-∞,0)，满足f(x0)＜0.

f(ln 2a)=(ln 2a-1)·2a-a·(ln 2a)2+b＞2a·ln 2a-2a-a·(ln 2a)2+2a=a·ln 2a·(2-ln 2a)≥0.

当x→-∞时，对f(x) 的值起主要作用的是-ax2→-∞，而(x-1)ex→0-，可以把它略去.即当x∈(-∞,0)时，(x-1)ex＜0，f(x) ＜-ax2+b.

若选②，证明的难点仍然是找到一个x0∈(0,+∞)满足f(x0)＞0.

注意到当x→+∞时，(x-1)ex要远比ax2大，可以考虑将ex缩小为xn，并确保(x-1)xn要远比ax2大，所以x＞1 且n=2 即可.

当x＞1 时，ex＞x2，

f(x) ＞(x-1)x2-ax2=x2(x-1-a)+b，

当……