伯努利方程在电介质流体中的应用

冯子江 鲁 斌

(浙江省余姚中学 浙江 宁波 315400)

伯努利方程在力学中有广泛的运用.由于其形式

式中不含电学量，故其在电学中应用甚少.在电介质流体的相关问题中，可将伯努利方程作适当推广，以拓宽其应用范围.

1 电势能密度的导出

如图1所示，一个电偶极子在非均匀场中的受力

(1)

其中p=ql为电偶极矩.

图1 电偶极子在非均匀场中的受力

我们考虑体积为dV的分子团，单位体积内带有n个电偶极子，现沿x方向由A到B，电场力做功

(2)

由极化强度矢量

(3)

将式(3)代入式(2)，有

则有

(4)

则

(5)

即为电介质在电场中的电势能密度.

2 伯努利方程在电介质流体中的推广

对于体积为ΔV的流体，根据伯努利方程，有

(6)

基于此，则在电介质流体定常流动的情况下，对原有的伯努利方程进行推广，即

(7)

当然，若流体为其他性质的流体如磁介质等，方程还可做进一步相应的推广.

3 电介质流体的平衡问题

如图2所示，水平放置的平行板电容器，一块极板在液面上方，另一块极板浸没在液面下，液体的相对介电常数为εr，密度为ρ，传给电容器上下极板电荷面密度分别为σ，-σ后，电容器中的液面可能升高多少？[1]

图2 带有电介质流体的平行板电容器

3.1 能量极值求解法

如图3所示，设极板面积为S，平衡后，新液面高出原液面的距离为h.

图3 分析图

在空气中

(8)

在介质中，总场强

(9)

由于电场的不均匀性，电场能量分为两部分，一是介质部分电场能量Ep1

(10)

二是真空部分电场能量Ep2

(11)

另外，介质液体还具有重力势能Ep3

(12)

则总能量

由于……