一类非奇异H-矩阵判定的充分条件

杨亚芳，梁茂林

(天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

1 预备知识

H-矩阵在数学，物理，控制论及经济数学等许多领域有着重要的研究价值和实用价值.对H-的判定许多作者给出了一些研究成果[1-6].本文用比较矩阵元素的方法，给出了判定非奇异H-矩阵的一组新条件，改进了已有的一些判定方法.

用Cn×n表示n复矩阵的集合.设A=(aij)∈Cn×n,对∀i,j∈N={1,2,…,n},记

定义1[1]设A=(aij)∈Cn×n,若存在α∈(0,1],使得|aii|≥Ei,则称A为α-对角占优矩阵；若|aii|>Ei,则称A为严格α-对角占优矩阵，记为A∈D(α)；若存在正对角矩阵X，使得AX∈D(α),则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为A∈D*(α).

引理1[3]设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],则A非奇异H-矩阵(记作A∈D)当且仅当A∈D*(α).

引理2[1]设A=(aij)∈Cn×n,若A为不可约α-对角占优矩阵，或A为具有非零元素链的α-对角占优矩阵，则A∈D.

另记

N1={(i|0<|aii|=Ei},N2={(i|0<|aii|

则N=N1⊕N2⊕N3.易知，若N1∪N2=∅,则A∈D; 若N3=∅,则A∉D; 因此常假设N1∪N2≠∅,N3≠∅.定义

易知Pi(A)≤Ei<|aii|， 且

根据文[7]中引理1，本文中总假设Λi(A)≠0,Si(A)≠0,i=1,2,…，n.另记

i∈N2，

2 主要结果

定理1 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],且I1(A)=∅,若i∈N2，

(1)

成立，则A∈D.

(2)

(3)

记

(4)

(5)

(6)

构造D=diag{d1,d2,…,dn}, 其中

记B=AD=(bij),下证B∈D(α).

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

|bii|-αΛi(B)-(1-α)Si(B)

综上所述，|bii|>αΛi(B)+(1-α)Si(B),(i∈N),即B∈D(α),因此A∈D.

注由于

i∈N2.

故本文定理1包含了文献[4]的定理1，因此改进了文献[4]中的主要结果.

定理2 设A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1], 且A不可约，如果i∈N2，

(7)

记I2(A)={i∈N2|使(7)式中等号成立了}，且N1∪N2I2(A)≠∅,则A∈D.

三是结合实际工作及时给予员工精神鼓励。既要表扬团队，又要逐一表扬每位员工的比较优势，要让员工觉得自己对于团队很重要，有一种“主角”的感觉，充分发挥优秀员工的模范带头作用，从而实现整个团队共同进步。

构造对角矩阵D=diag{d1,d2,…,dn}，令B=AD=(bij)，其中

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

∀i∈N2, 由(6)知

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

∀i∈N3,

|bii|-αΛi(B)-(1-α)Si(B)

≥0.

定理3 设

证明类似定理2的证明可得B=AX=(bij)满足|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)(∀i∈N),且上式中每个等号成立的i必然属于集合I2(A)∪(N1I1(A))∪(N3I3(A))， 而当i∈I2(A)∪(N1I1(A))∪(N3I3(A))时必有aij1aj1j2…ajk-1k≠0, 满足k∈I1(A)∪(N2I2(A))∪I3(A)， 易知这样的k必有

|bkk|≥αRk(B)+(1-α)Sk(B)(k∈N).

由引理2知A∈D.

注：当式(7)成立时，|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)(∀i∈N)成立，集合I2(A)∪(N1I1(A))∪(N3I3(A))包含了所有使得式(7)中等号成立的指标i，而集合I1(A)∪(N2I2(A))∪I3(A)包含了所有使得式(7)中大于号成立的指标i.

3 数值例子

例1 设

取α=0.8, 则N1={1},N2={3},N3={2，4,5}.计算得

即矩阵A满足定理1的条件，因此矩阵A为广义严格α-对角占优矩阵.

=2.3333，

所以不满足文献[4]的条件.

又

所以无法用文献[5]去判定.经计算得文献[6]中的M3=3.4167,

故不能由文献[6]来判别.

注：文献[4]中，当矩阵满足条件

时为非奇异H-矩阵.在文献[6]中，当矩阵满足条件

时为非奇异H-矩阵.在例1 中这些条件显然都是不满足的.由此看出本文定理丰富了非奇异H-矩阵的判定理论.