基于几何直观下图形与几何问题的探索

苏庆堂

摘 要：几何直观作为数学核心素养之一，可见其地位非凡。本文以三年级上册“长方形和正方形”单元为例，以本单元的典型例题对学生进行测试以及对本单元中有关图形与几何的问题进行探索与分析，揭示学生在发展几何直观中所存在的问题，并对在教学过程中发现的问题进行思考，进一步探索有利于小学生的几何直观发展的方法与形式。

关键词：几何直观;周长;图形与几何

在小学数学课程中“几何直观”是尤为重要的内容，《新课标》也指出“几何直观”的重要性与进一步明确“几何直观”主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。[1]而在对于一二年级的而言，只对一部分图形与几何进行初步的认识，并未深入的进行学习，而“几何直观”真正意义上出现于三年级上册“长方形和正方形”单元。下面就以三下“长方形和正方形”单元教学为例，探索图形与几何问题中的几何直观发展。

一、从“长方形和正方形”单元几道常见题型分析看理解图形的能力

“长方形和正方形”单元中是以一二年级初步感知的正方形、长方形为基础进一步的深入教学，本单元中图形与几何问题的抽象程度是小学几何直观问题中的一个台阶。而学生对本单元的“几何直观”掌握如何？不妨从以下几道常见题型的错例与测试结果来看看。

问题1：绕长50米、宽30米的长方形场地外围跑两圈，跑了多少米？

这道题考查的是学生对长方形周长的理解及公式掌握，显然答案列式为（50+30）×2×2。但是在实际测试中，正确率只有70%;其中不乏出現的列式错例为50+30与（50+30）×2。但是在相同的题目中，仅仅为本题配上长方形操场的图形后正确率达到85%。从两道相同的长方形周长问题中，不难发现学生对周长的理解不够到位外，有借助直观的图形理解正确率明显提高，因此学生还未能完全利用图形解决问题。

问题2：一块长方形白菜地长7米，宽3米，若一面靠墙，将这块白菜地围起来需要多少篱笆？

本题考查学生对长方形周长应用于生活的考查，本类题型是特殊的长方形周长考查方式，显然根据生活实际靠墙的一面不需要算到需要的篱笆里面。因此由上图显而易见，长方形的一条长靠墙，其中一条长就不需要计算进去，即3+3+7或者（3+7）×-7;短的一面靠墙，同理一条宽不需要计算。

问题3：用一根长14cm的铁丝围成长方形，每条边都取整厘米，怎么围？在下面方格中划出所围成的长方形。（每个小方格的边长表示1cm）

本题考查方式相对前两题来说难度有所增加，侧重考查点于长方形的周长公式逆运用与长方形周长的几何直观理解。在实际测试中，学生的实际正确率只有65%，正确率明显下降。

从这三道题及学生测试的情况来说，学生对初次接触带有公式的几何图形题的理解能力还不够强，追其本质，一方面学生对几何直观的核心素养发展处于初步阶段;另一方面，教师对于学生的几何直观发展需要运用多样的方式教学，而实际上的教学不乏出现学生对公式的生搬硬套而导致几何直观发展缓慢，因此从这三道题的情况来看，教师应注重培养学生初步踏入有跨度的图形与几何问题的几何直观核心素养。

二、“长方形与正方形”单元教学思考及存在问题探索

1.建立正确的几何直观模型——清晰的周长概念

本单元中有一个重要的概念“周长”，其需要让学生着重理解“封闭”、“一周”两词，“封闭”即图形中没有缺口，而“一周”需要注意是绕图形的边线从起点又回到起点。而在教学过程中，许多学生往往顾此失彼而出现错误。例如，请学生画出下列图形的周长;

在认识周长的这课时中，所需要的掌握的重点即周长的意义，而所出现的题型中，认识周长的图形中无非可以归纳为上面四类，第一类所有学生都懂得将周长描出来;而第二类图形中，部分学生往往会将中间的曲线也归到这个半圆的周长中;第三类图形往往也会有学生将除长方形以外的线段也划入这个长方形的周长中，这部分学生并没有理解周长“一周”这个词的含义，周长必须是绕图形的边线从起点又回到起点;最后的一类显然是没有封闭的图形，即没有周长，而学生有的也会误以为三条线段即这个图形周长，而此类图形便体现出封闭的重要性。

因此，在认识周长的教学过程中，应先让学生理解“封闭”的意义，在确定图形周长的前提应先判断图形是否“封闭”，其次在图形“边线”中，找准一起点，开始绕边线走一圈回到起点，即“判-定-绕”。

由此可见，在几何的学习中需要加强基础概念的诠释与图形的理解能力，在数学的学习中，往往也是由简单的概念一步步进行螺旋加深为更深层次的理论，因此帮助学生建立与理解清晰的基础概念是尤为重要的。例如周长的认识，“周长”的概念便为基础概念，后续的计算等练习都由其发展而来。同样的小学阶段后续的面积、体积等等几何问题都存在着这样的基础概念。因此，基础概念的理解是几何直观发展的地基所在，也可以说为建立简单的数学模型。

2.在公式推导学习中发展学生的几何直观分析能力

在小学阶段，几何直观的发展与公式的学习密不可分，无论是现今三年级初次接触的周长公式，或者是之后需要学习的各种图形的面积、体积等公式，都需要学生有着良好的几何直观与空间思维。因此在公式的推导过程中，需要让学生建立起清晰的直观思维，由直观过度到抽象。

（1）几何直观中“分与合”的巧用。本单元中长方形与正方形的周长公式的掌握既是重点也是难点，因此在长方形的公式推导过程中，需要对长方形的长与宽进行拆分，可以分成长、长、宽、宽，先明确长方形的周长是由这四条边组成，进而进一步明确有两条长与两条，将长方形的周长公式由“长+长+宽+宽”转变为“长×2+宽×2”;而最为关键的一步便是利用图形的组合将一条长与一条宽组合为一组，再将公式转变为“（长+宽）×2”。其“分与合”过程可由下图表示出来：

通过将图形“分与合”，在简单与复杂的过程中理解公式的意义，也进一步发展学生几何直观。其实几何直观中的“分与合”是图形的运动与变化的过程，而学生的几何思维发展正需要这种静态与动态的结合，例如：用16张边长为1cm的正方形纸，怎么拼才能使拼成的图形周长最短？教材中的这一内容其实是让教师的教与学生的学成为“动态” [2]，与将图形“分与合”来让学生进一步理解，有着异曲同工之妙，其本质都是让学生以直观的形式去探究几何图形中存在的奥秘，以便促进几何直观的发展。

（2）公式的逆运用与几何直观相辅相成。在问题1与问题2所展现的是公式的正向运用，其测试的结果效果相对较好，但是在问题3中，正确率却大幅下降，这与思维方式存在莫大联系。问题3并不是需要求周长，而是告诉你周长，需要你来画出这个长方形，显然这是长方形周长公式的逆运用。而对于三年级的小学生，并不会将长方形的周长=（长+宽）×2变形为一组（长+寬）等于长方形的周长除以2，当然在教学过程中许多教师也会将这组变形的公式让学生直接运用，但部分学生并不能理解其中的真正含义。

因此，遇到此类题目时，几何直观的作用大大显现，例如：问题3中已知长方形周长是14cm，通过“分与合”的教学知道有两组长+宽，通过14÷2就可以知道，一组长+宽是7cm，最后通过列表的形式就可以画出长6cm与宽1cm、长5cm与宽2cm、长4cm与宽3cm的长方形，由此可见几何直观与公式正、逆运用之间存在的联系是密不可分的。

（3）情境创设，联系实际。生活处处有数学，这句话并不是简单的说说。许多经典的数学题往往源于生活本身，在本单元中，周长的计算常常与操场跑步、菜地篱笆等生活情境结合，例：操场跑步两圈，学生首先要理解操场周长在哪，确定周长的长度，在将周长乘2计算;而菜地篱笆的题型却不同，其往往有一条边是不需要计算进去，因为那条边靠墙，为节省材料而少计算靠墙的一边。因此面对不同的生活情境，几何题型具有多变性，需要联系生活实际加以探究。

因此，在几何直观的题型当中，需要对其进行生活情境的再现，与生活实际相联系，理解题目中所表达的意识后，用数学图形进行简单的表达，例如菜地题型可以用上述所出现的例题图形进行简单的草图绘画来帮助理解，从而达到“数形结合”的巧妙效果，即从生活中来又回到生活中去。

三、在图形与几何问题教学中发展几何直观核心素养

在核心素养中的几何直观发展，各类图形与几何问题是发展学生几何直观的途径之一。因此在一类几何图形问题中，需要通过循序渐进的方式发展学生的几何直观，例如上述对人教版三年级上册“长方形与正方形”单元中的典型例题分析，可见发展几何直观的第一步需要明确图形与几何问题中的几何概念;其次几何问题中的公式需要有深层次的理解，而非死记硬背、生搬硬套，需要将公式与几何直观相融合，进而能够将公式的正、逆运用熟练的掌握;除此之外，发展学生将几何直观与生活具体情境相联系，用生活经验推进几何直观的发展。当然，几何直观的发展需要由易到难，在基础概念上理解、在理解基础上运用公式、在熟练掌握下逆用公式、生活经验与几何直观结合等，一步步有序地发展学生的几何直观。

参考文献：

[1]国家义务教育数学课程标准研制工作组.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]谢清霖，郑璘玲.把握教材细节变化，适时调整教学策略[J].小学数学教育，2014，（9）.