HPM视角管窥中学数学教师专业发展

胡爱芬

【摘要】HPM即数学史和数学教育，HPM视角下的数学教学即融入数学史的数学教育.英国德摩根（1806～1871）曾经这样形容过数学史与数学教育的关系：“数学史和数学教育是使面包与黄油更加可口的蜂蜜”.教师的HPM素养的发展，可有效推进学生三维目标的发展，HPM可以带领我们中学数学教师走进一个崭新的领域;开启一座取之不尽，用之不竭的宝藏;探寻一条数学史才能解决的进路;传递古人专注、坚毅的一缕书香;增添一种不但知其然，而且知其所以然的数学视角.

【关键词】HPM  数学教师  专业发展

自1972年开始HPM便成为数学教育的富有特色的研究领域.HPM视角下的数学教学通俗地讲就是融入数学史的数学课堂教学，距今已有40年左右的发展历史.而在我们中国的高中数学课堂教学中的融合仍然是一个教育难题.HPM视角下的课堂教学，能激发学生的学习兴趣，启发学生的人格成长，对于解决教育教学中的其它难题具有借鉴意义.

一、走进一个领域

在国际数学教育这么一个大学科里面，HPM教学是一个比较活跃的研究领域， 1976年开始隶属于国际数学教育委员会.国内则是在本世纪初开始有学者注意.

案例1 HPM视野下的教师招聘

有这样一个故事，7个临近毕业的来自985大学的大学生，去应聘某所高中的数学教师，面试中校方负责人提了这样一个问题“为什么等比数列的求和公式推导过程中要两边同乘以q”， 如果你懂得数学史，就会发现这样的问题显得多么狭隘和幼稚！两边不乘以q，世界依然美好. 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，由古埃及一位名叫阿莫斯（Ahmes，约公元前1650年）的祭司所编著.纸草书上记载着一个等比数列的求和问题：S5=7+49+343+2301+16807=7（1+7+49+343+2301）=7×2801=19607.由此可见，古代埃及人已经总结了等比数列“7，72，73，…，7n，…”的前n项求和Sn和前n-1项和Sn-1之间的递推关系Sn=7×（1+ Sn-1）.利用这种方法，我们同样可以推导出一般等比数列“a1，a1q，a1q2，…，a1qn-1，…” 的前n项求和Sn和前n-1项和Sn-1之间的递推关系：Sn= a1+ a1 q+ a1q2+ …+ a1qn-1= a1 + q（a1+ a1q+ a1q2+ …+ a1qn-2）= a1 + q Sn-1= a1+ q（Sn- a1qn-1），故当q≠1时，有Sn= a1 1-qn1-q.我们也可以将上述递推方法进行改进.由a1+ a2+ a3+…+ an+ an+1= a1+ q（a1+ a2+ a3+…+ an），得Sn+ a1qn= a1+ qSn.雖然我们还无法判断古埃及祭司是否已经知道上述公式，但他们所运用的思想昭然若揭，这种递推思想在今天的课堂上依然可以大放光彩.

二、开启一座宝藏

在我们数学教学中，每天都要进行教学设计，每个数学教师都希望自己的课能上得非常好，巧妇难为无米之炊，数学史可以提供取之不尽，用之不竭的教学资源.教师专业发展包括信念、知识和能力三方面.教师的信念很重要，信念决定人的教育行为。

案例2 “负数”认识的历史相似性

法国大文豪司汤达，他写过一本书叫《红与黑》，司汤达小时候数学喜欢的不得了，又聪明，又伶俐，然后又喜欢数学，他为什么这么喜欢数学，他说数学能够让我获得真理，因为数学它的推理一步一步很可靠，其它学科达不到这个结果.但是有一天老师在学校教“负负得正”，说负数乘以负数得正数，你记牢就好了.司汤达举手问老师“为什么负负得正，而不负负得负”.老师把他骂了一顿.后来他去补习学校问另外一个数学老师，那个数学老师的态度是好多了，还举了个例子“-500就像是我欠了你500债务”，司汤达说 问题就在这里啊，欠500乘以欠1000等于收入50万，怎么样都想不通，这个数学老师直接昏过去再说了.这是司汤达自传里面写的.后来司汤达在回忆录里面写到了这两老师，他看不起这两个数学老师，说一个是骗子，一个是小市民.历史上前人遇到的困难，我们今天课堂上一定会再现的，其实这就是历史相似性.如果意识到这一点，我们就会少在办公室里背后抱怨“学生笨死了”.

三、探寻一条进路

在我们日常教学中，每天都会遇到学生问各种各样的“为什么”，有些“为什么”可以通过逻辑推理得到解决，还有一类为什么，因为所以没有用，逻辑推理也是失效的，只有用数学史才能解决学生心中的疑虑.

案例3 为什么2是无理数，无限不循环小数为什么叫无理数

也许有的人会顾名生义，望文生义的以为“无理数就是毫无道理的数”. 无理数怎么会是毫无道理的数呢，生活中处处可见，比如长得比较好看的牙齿的两颗门牙的横向宽度通常是一颗门牙纵向长度的 EQ 5+1，2）倍.又比如我们把A4纸沿矩形一角的角平分线对折一次，沿450折角的角平分线再对折一次，发现第一次的折痕与A4纸的长边重叠，即A4纸的长是宽的2倍.为什么叫无理数，清代华衡芳，江苏无锡人，实际上他翻译一个英文单词时翻译错了，正确的翻译应该是“不可比的”，不能表达成两个整数的比，应该叫无比数，而不是无理数.所以学习无理数是有心理障碍的，你想若你是一个名叫“无理取闹”的人，大街上谁还理你啊.又比如为什么幂指数叫对数？对数这个词的由来：缘于古人将等差数列与等比数列对应起来，所以就叫对数.再比如“数学归纳法”，德国人原先叫完全归纳法，英国的德摩根是很有名的数学家，由他得出来的词条广为传诵，他的数学归纳法最后战胜了德国人的完全归纳法，后来全世界人都叫数学归纳法.

结语

百年大计，教育为本，教育大计，教师为本.HPM有助于更好地实现数学教学的三维目标.数学史融入数学教育的HPM研究，为我们中学数学教师提供了一片广阔而迷人的天地.可以让我们一线中学教师成长为一个更有文化底蕴、更自信、更热爱数学教育的人.随着中学课程改革的不断深入，时代呼唤数学教师成为HPM的研究者、传播者.洋溢着数学文化芬芳的数学课堂将使我们的学生更热爱数学、热爱生活、更有文化、更有追求、更懂得生命的意义.

参考文献

[1]顾沛 .《数学文化》 北京：高等教育出版社，2008： 13

[2]汪晓勤.《HPM：数学史与数学教育》 北京：科学出版社，2017：