透射边界高频失稳机理及稳定实现
——P-SV波动

章旭斌，廖振鹏，谢志南

中国地震局工程力学研究所，中国地震局地震工程与工程振动重点实验室，哈尔滨 150080

0 引言

近场波动数值模拟是地震工程、地球物理、电磁学等学科共同关注的重要研究方向，其涉及内域数值算法和人工边界条件，其中人工边界用来截断外部无限域，并模拟外行波无反射地穿过边界.迄今常用的内域算法有差分法、有限元法(Finite Element Method, FEM)和谱元法(Liu et al., 2019)等，而人工边界主要有黏性及黏弹性边界(Liu and Li, 2005; Zhao et al., 2011)，Higdon 边界及其辅助变量实现(Higdon, 1987; Hagstrom et al., 2008)，透射边界(廖振鹏等,2002)，物理阻尼层(Semblat et al., 2011)，加权混合人工边界(Liu and Sen, 2012)和完美匹配层(Bérenger, 2007)等.由内域和边界算法的两者组合将形成诸多近场波动数值模拟方案，其稳定性是获得可靠模拟结果的前提.

透射边界亦称多次透射公式(Multi-Transmitting Formula, MTF)，是一类典型的具有高阶精度、低计算量、易于实现等特点的人工边界条件，其已应用于诸多波动模拟领域，如电磁学(Taflove and Hagness, 2005)、地震工程(陈厚群,2006)、流体力学(Xu et al., 2016)等.然而在波动模拟中MTF存在数值失稳现象.下面结合稳定性分析方法加以概述已有失稳机理的研究结果.

从大量失稳的数值实验中可以发现，失稳的肇始具有局域性，即由边界开始向内域扩散，可见失稳仅是边界与相邻的运动方程不当耦合所致，而与远处的运动方程和边界无关.基于正则模态分析建立的GKS(Gustafsson, Kreiss, Sundström)定理及其群速度解释(Trefethen, 1983)是分析局域失稳的重要理论.周正华和廖振鹏(2001)基于GKS定理分析了MTF引发的飘移失稳，指出数值解中的零频零波数谐波从边界进……