对一道联考选择压轴题的探究与拓展

安徽省南陵中学 (242400) 王 凯安徽省芜湖市第一中学 (241000) 刘海涛

一、试题呈现与分析

分析：本题虽为小题，但综合性强、解法灵活，考查了函数的零点，利用导数研究函数的性质，函数图像间的位置关系等知识，考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归、数形结合的数学思想方法，体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.因此，该题内涵丰富，是一道值得研究的好题，本文从两个不同角度分析该题，并将该题予以拓展，以发挥该题的最大价值.

二、解法探究

评注：该法的基本思路是将函数解析式化简为两同底对数函数与指数函数作差，判断同底对数函数与指数函数无公共点时，底数的取值范围.另外通过解法2也揭示了该题命制的几何背景.

三、问题的提出

数学家波利亚曾说：“解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈.”解答完本题后，笔者有如下思考：

问题1 若对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图像有公共点，公共点是否均在直线y=x上？

问题2 对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0，a≠1)的图像有几个公共点？

四、问题的拓展

结论1 当a>1时，若对数函数y=logax与指数函数y=ax的图像有公共点，则公共点均在直线y=x上.

证明：假设函数y=logax与函数y=ax的图像有不在y=x上的公共点(x0,y0)(x0,y0>0)，则y0=logax0，y0=ax0，由y0=logax0得x0=ay0，由于x0≠y0，不妨设x01，则y0

说明：结论1只说明了当a>1时两函数图像的公共点一定在直线y=x上，但是对于公共点的个数并未说明.

结论2 当0

证明：由y=ax在(0,+∞)上递减，y=x在(0,+∞)上递增，又a0=1>0，a1<1，知指数函数y=ax的图像与直线y=x存在唯一公共点，设该点为(x0,x0)，有ax0=x0，即x0=logax0，所以该点也在对数函数y=logax的图像上，故此时对数函数y=logax与指数函数y=ax的图像均过直线y=x上一点.

结论3 对数函数y=logax与指数函数y=ax(……