一类1∶2共振的Hamilton系统在分段n次多项式扰动下Abel积分的零点个数

曾 慧，李宝毅，张永康

（天津师范大学 数学科学学院，天津300387）

1 引言与主要结果

正规形理论是研究非线性微分方程奇点附近轨线结构的基本工具.在奇点处线性部分矩阵为非平凡幂零阵的平面微分系统的r阶正规形为[1]

其中：ai、bi∈R相关文献对系统（1）的分岔问题做了大量研究[2-7].文献[2-4]研究了当a2b2≠0时，系统（1）的余维2分岔.文献[5]和文献[6]分别研究了当a2b2=0时，系统（1）的余维3和余维4的分岔.文献[7]研究了当a2=b2=0，a3b3≠0时，系统（1）为1∶2共振的余维2的退化系统x˙=y，y˙=a3x3+b3x2y，给出了其普适开折

其中ε1、ε2为开折参数.当ε1>0时，通过适当的尺度变换可将系统（2）转化为

该系统可看作是Hamilton系统

的扰动系统.文献[8]利用广义Rolle定理证明了Hamilton函数是4次多项式）的平面Hamilton系统在n次多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数不超过7n+5.文献[9]研究了具有“8字环”的Hamilton系统x˙=2y，y˙=λ+2x-4x3（λ∈在n次多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数.文献[10]研究了四次椭圆Hamilton向量场在三次多项式扰动下极限环的个数.文献[11]利用Petrov的复域方法证明了在n次多项式扰动下，向量场（3）-在周期闭轨族Γh（h∈（0，+∞））附近分支出的极限环个数不超过n+1（实际上证明了不超过2[（n+1）/2]）.

近年来，受到力学、电器工程和自动化控制中不连续现象的影响，相关学者对分段光滑的微分系统产生了浓厚的兴趣.对于分段光滑微分系统，一个重要的问题就是确定极限环的个数.文献[12-14]通过计算Lyapunov常数研究了分段开关系统极限环个数的上界.文献[15-16]利用平均法研究了不连续分段系统的周期解.文献[17-21]利用Melnikov函数法研究了分段近Hamilton系统周期解附近分支出极限环的个数.

本文利用Melnikov函数法并结合广义Rolle定理讨论当平面分为左右2个区域时，系统（3）-在分段n（≥2）次多项式扰动下Abel积分的孤立零点个数.考虑系统

其中：0<ε≪1，且

当ε=0时，系统（4）0的Hamilton函数为

当h∈（0，+∞）时，系统（4）0存在顺时针走向的周期闭轨族Γh=Γh+∪Γh-，其中：

设Γh与x轴正半轴交于与x轴负半轴交于与y轴正半轴交于，与y轴负半轴交于其中

本文的主要结果如下：

定理对于h>0，系统（4）ε的周期闭轨族Γh在分段n（≥2）次多项式扰动下，当Abel积分

不恒为零时，I（h）的孤立零点个数不超过2n+7[n/2]+1.

2 Abel积分的计算

由Γh的对称性易得

引理1若k为偶数，则有

若k为奇数，则有

证明 利用数学归纳法证明.首先证明k为偶数的情形.由分部积分和式（5），当s≥4时，有

变形得

显然，当k=0、2时，引理1成立.假设当k≤2M-2（M≥2）时引理1成立，则当k=2M时，有

其中：

从而有

因此，当k=2M时，引理1成立.

下面证明k为奇数的情形.当k=1时，引理1显然成立.当k=3时，有

其中：

从而有

因此，当k=2M+1时，引理1成立.引理证毕.

命题系统（4）ε的Abel积分可以表示为

其中：

deg{u2（h）}≤α-1，deg{u3（h）}≤β+1

证明当x≥0时，注意到

同理可得，当x<0时，有

首先利用数学归纳法证明下面的式（10）成立.

其中系数多项式满足

当n=0时式（10）成立.

当n=1时，式（10）成立.

假设当n≤2k-1时式（10）成立，则当n=2k时，结合引理1，式（10）新增加的项为

因此，当n=2k时，有

其中系数多项式满足

即当n=2k时式（10）成立.

当n=2k+1时，结合引理1，式（10）新增加的项为

其中系数多项式满足

因此，当n=2k+1时，有

其中系数多项式满足

即当n=2k+1时式（10）成立.综上可得式（10）成立.

结合式（9），类似于式（10）的证明可得

其中系数多项式满足

结合式（6）和式（8）~式（11）可得

其中系数多项式满足

命题证毕.

引理2满足Picard-Fuchs方程组

证明由文献[11]的引理3可知式（12a）和式（12c）成立.下证式（12b）成立.

对式（13）关于h求导，可得

另一方面，利用分部积分可得

变形得

结合式（7）可得

引理证毕.

推论1满足Picard-Fuchs方程组

对式（14a）和式（14c）求导，可得推论2.

推论2满足微分方程组

3 Abel积分孤立零点个数的估计

引理3[22]设A（h）和B（h）在开区间（a，b）上分别有个和个零点（计重数若方程A（h）·满足：

（1）P（h）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）上可导；

（2）A（h）与B（h）在闭区间[a，b]上连续，F（h，P）在[a，b]×[mP，MP]上连续，其中[mP，MP]是P（h）在[a，b]上的值域.

则函数P（h）在开区间（a，b）上至多有个零点（计重数）.

引理4设且deg{v2（h）}≤deg{v0（h）}≤deg{v2（h）}+1，则

其中：k≥2，deg{v0，k（h）}≤deg{v0（h）}+k-1，deg{v2，k（h）}≤deg{v2（h）}+k-1.

证明利用数学归纳法证明.当k=2时，对F（h）求二阶导数，结合推论1和推论2可得

其中：

从而有

则当k=2时，引理4成立.假设当k=η≥2时引理4成立，则当k=η+1时，结合推论1有

其中：

从而有

即当k=h+1时引理4成立.引理证毕.

定理的证明当n≥2时，由命题可知

对I*（h）关于h求导，并结合推论1可得

其中：

其中：

且deg{v0（h）}≤α+β+1，deg{v2（h）}≤α+β，deg{v3（h）}≤2β+2.

在引理4中，令k=（2β+2）+1=2β+3，可得

由文献[11]的定理1可得

则有

结合式（15）和式（17）及引理3可得

定理证毕.