浅谈电磁场中常用的数值求解算法

范昊博

摘要：麦克斯韦将电磁之间的关系用数学形式进行了表示，从而打开了电磁学发展新的大门，经过多年的发展，电磁场的相关知识在医学成像、光纤通信技术等众多领域中都得到较为广泛的应用。由此可见，电磁场在人们的生活中扮演着举足轻重的角色，本文对电磁场常用的数值求解算法及各自特点进行介绍分析。

关键词：电磁场;数值求解算法;特点

在很久以前人们就开始对电磁现象进行研究，但一直没有真正的数学模型，直到1873年麦克斯韦在前人研究的基础上，对电磁之间的关系使用数学形式进行表示，从而使得电磁场理论有了数学模型，为电磁学的进一步发展打开了一扇新的大门。随着科学技术的发展，人们对电磁的研究也越来越深入，目前在人们的日常生活中都有着电磁波的应用，如医学成像、光纤通信等领域。在使用电磁波时，由于实际环境的复杂性和多样性，电磁波的传播会产生散射等问题，变得十分复杂，因此，研究者们必须要对具体且实际的电磁波传播特性进行高标准求解计算，并可以实现通过数值仿真便可得到准确有效的电磁特性。计算机等技术的快速发展为人们对实际中电磁波所涉及的问题进行数学建模及仿真分析提供了高效且便捷的手段，从而产生了计算电磁学。

计算电磁学对电磁波进行计算时通常分为两种方法，分别为半解析法和数值法。其中前者较为繁琐，应用范围有限，很少有人对该方法进行研究。后者则得到深入的研究并广泛应用在众多的领域中。由于需要对麦克斯韦方程组求解，所以根据求解方式又将数值法进一步细分，分为时域和频域两大类。目前在频域使用的较为成熟的算法主要有：频域有限差分（FDFD）方法、矩量法（MoM）、有限元法（FEM）等;而在时域中使用的较为成熟的算法主要有：时域有限元（FETD）法、时域积分（TDIE）法、边界元法（BEM）以及时域有限差分（FDTD）法。与各算法比较而言，时域有限差分算法即FDTD算法具有简单易懂、可对宽频带计算等优势得到较为深入的研究和完善，成为最常用的电磁求解算法之一。下面对常用的电磁求解算法进行介绍和分析。

一、频域方法

1、频域有限差分（FDFD）方法

该方法是一种在频域求解电磁问题的算法，其基本求解思路是先对时域的麦克斯韦方程组进行变换，将其变换到频域，然后对频域直接进行离散化，对空间使用阶梯近似方法进行离散化，从而计算求解。此外，当遇到对复杂目标进行仿真时，使用FDTD方法需要借助亚网格或非均匀技术。

2、有限元法（FEM）

該方法是以变分法为基础来对电磁问题进行求解的，它的基本思想是先通过把计算空间进行不规则划分，将空间变为有限多的网格单元，然后借助插值函数和微分方程的思想将所划分的空间网格单元作为求解函数的插值点来运算求解，便得到电磁问题的解。该方法划分网格灵活，可以对复杂的结构和环境进行精确的仿真，应用范围较为广泛，但当涉及形状复杂物体的电磁问题求解时，为了保证计算精度，使用有限元法必须要将空间网格划分的足够细，这样会在模拟仿真时使得计算量和内存占用率大大提升，花费较多的仿真时间。另外，使用FEM只能对有限空间进行求解，无法对无限空间求解。

3、矩量法（MoM）

该方法对电磁问题求解的基本思想是先通过基函数和测试函数将原本的积分方程变换成矩阵方程，然后使用共轭梯度法迭代求解。矩量法一般在高阶或与其他方法混合的算法中得到应用研究。

二、时域方法

1、时域有限元（FETD）方法

该方法对电磁问题求解时有两种方式，一种基于矢量波动方程，另一种是基于麦克斯韦方程组。在对电磁问题计算时，FETD方法空间部分会采用与有限元相同的方式，而时间部分使用显式或隐式进行差分。因为在对空间部分计算时，FETD算法采用了与FEM一样的计算方法，因此其可以灵活选择网格单元，仿真较为精确，但是遇到复杂形状，不规则的网格也会使该算法分析困难。

2、时域积分（TDIE）方法

该算法是以时域积分方程为基础进行计算的，其空间部分进行离散，采用的方式与矩量法一样，时间部分使用显式或隐式进行差分。该方法其实可以看成是以矩量法为基础。时域积分方法虽然具有在计算时所计算的空间小，无色散误差，精度高等优点，但也存在产生稀疏矩阵，不稳定或计算效率低等问题。

3、边界元法（BEM）

该方法同样也是采用了有限元法的网格划分思想，但它并不是对整个计算空间进行网格划分，而是只对计算空间的边界进行网格划分，所以与FEM相比，该算法所处理的网格单元数量更少，计算效率更高。另外，边界元法还可以对无限域进行求解，目前研究人员已经将BEM和FEM两种算法进行耦合，使两者在数值仿真中能够互补。

4、时域有限差分（FDTD）法

该算法是由K.S.YEE提出的，其在求解电磁问题时的基本思想是先将麦克斯韦方程组差分离散化，然后对离散化后的方程求解，最后用求得的解代替原本方程的解。时域有限差分算法凭借其计算效率高，计算时占用内存少，并且可以进行并行运算等特点在许多领域中都得到应用，而且该算法提出后不断发展、完善，是目前最常用的电磁求解算法之一。但是传统的FDTD算法会受到稳定条件CFL的限制，在求解精细结构时会需要大量的时间，所以近年来研究者们不断在原本算法的基础上进行改进、完善，得到新的FDTD算法来克服传统算法所存在的问题。现在常用的改进的FDTD算法有交替方向隐式时域有限差分（ADI-FDTD）算法、CN近似耦合时域有限差分算法等等。

三、结束语

对于频域算法而言，其只能处理单频或窄带问题，适用性较差。时域算法虽然可以弥补频域算法的缺陷，但其会受到稳定条件限制或存在计算精度不高的问题。所以当对目标电磁场问题进行求解运算时，要结合频域和时域各种算法的优缺点选择合适的算法实现快速精确计算求解。

参考文献：

[1]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安电子科技大学出版社，2011

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