一般边界条件下任意三角形薄板弯曲振动分析

张洋，关先磊，秦斌，王青山

（中南大学a.高性能复杂制造国家重点实验室；b.交通运输工程学院，长沙 410083）

0 引言

作为工程中常用的基本构件，薄板结构的应用极为广泛。薄板结构振动时，其内部存在弯曲波、剪切波及纵波。弯曲波垂直于薄板中面，被称为弯曲振动，在同频率下，薄板的弯曲振动更容易被激起。三角形板是板结构中的一种重要结构形式，在诸多领域均有着独特的应用，另外多边形板结构都可视为三角形板的组合结构。板壳类结构朝着大型、轻量化与高承载方向发展，这对其振动和低噪声设计提出了更为苛刻的要求。在此工程背景下，发展一种准确、高效的三角形薄板弯曲振动分析方法，用于研究任意形状的三角形薄板的弯曲振动特性具有重要理论意义和工程价值。

目前，对三角形薄板的振动特性研究已取得了较大进展，诸多研究人员提出了不同的研究方法，如Ritz法[1-6]、特征正交多项式法[7]、微分求积法[8]等。Singh等[5]采用Ritz法得到了不同边界条件下变厚度三角形板振动的数值解。Chakraverty等[7]采用特征正交多项式法研究了三角形薄板在不同边界条件下的横向振动。Leissa等[9]用代数多项式表示位移函数，首次对完全自由三角形薄板的自由振动频率和节点模式进行了全面研究。Karunasena等[10]基于Mindlin剪切变形理论，采用pb-2 Rayleigh-Ritz法对厚悬臂任意三角形板进行了自由振动分析。Zhong等[8]将三角形微分求积法应用于等腰三角形Mindlin板的自由弯曲振动，研究了三角形Mindlin板的振动特性。Lam等[11]以Rayleigh-Ritz法为基础，并结合Gram-Schmidt正交化构造对结构位移容许函数，研究了正交各向异性三角形板的弯曲振动问题。从现有的研究来看，针对三角形板的弯曲振动研究主要集中在某些特定三角形形状及特定边界，对于具有任意形状的三角形板弯曲振动尚缺少简单通用的分析方法。

近年来，改进傅立叶级数法因其具有快速的收敛速度、较高的收敛精度等优点，被广泛应用在板、壳结构振动特性[12-14]分析中。这种方法通过将目标求解域分为内场求解区域和边界求解区域，并在内场求解区域内，采用傅立叶级数来进行描述，而在边界求解区域，结合辅助函数来消除边界处存在的不连续或者跳跃现象，对于复杂边界表现出极好的适应性，同时具备快速参数化分析能力。

本文针对多种边界条件（如：自由、简支、固支）下的任意三角形薄板，采用改进傅里叶级数法并结合坐标变换对其弯曲振动进行研究。首先建立结构几何模型，采用坐标变换将三角形域转化为单位正方形域，引入人工虚拟弹簧来模拟边界约束条件。采用改进傅里叶级数表示容许位移函数，基于经典板理论建立能量方程。最后，采用Rayleigh-Ritz法求解。该方法可以很容易地得到任意三角形薄板的弯曲振动特性，本研究可为实际的工程应用及类似结构的研究提供参考。

1 理论和方法

1.1 任意三角形模型

如图1所示，建立任意三角形薄板的几何模型。薄板在弯曲振动下的中面位移用w表示。本研究引入人工虚拟弹簧边界技术来模拟边界条件，包括一组横向位移弹簧（kw）和一组旋转约束弹簧（Kw）[15-17]。通过改变横向位移弹簧和旋转约束弹簧的刚度值来对模拟任意边界条件，例如将横向位移弹簧刚度值设为无穷大，而将旋转约束弹簧刚度值设为零，即可得到简支边界；而将所有边界弹簧刚度设为零时即为自由边界。板结构弯曲振动的控制微分方程为

图1 任意三角形薄板的几何模型

式中：D=Eh3/ 12（1-μ2［ ］）为板的弯曲刚度；h、μ、E和ρ分别为板的厚度、泊松比、弹性模量和密度。

1.2 坐标变换

为方便积分计算，需通过坐标变换将三角形域映射变换为规则的单位正方形域[15-16,18]。本研究采用的坐标变换方程为

坐标变换前后的形状如图2所示。

图2 坐标变换

其中xi和yi(i=1,2,3,4)是三角形板的节点坐标。由于三角形域只有3条边，因此三角形板的第三个顶点需要映射2次。Ni（ξ,η）为坐标变换形函数，定义为

根据链式求导法则，函数的一阶导数和二阶导数在x-y坐标系和ξ-η坐标系中的转换关系分别为：

1.3 位移函数

为了消除薄板边界上的不连续或者跳跃现象，本研究采用一种改进傅里叶级数[12-14]来表示位移函数：

1.4 模型求解

式中：K、Ksp和M分别为板刚度矩阵、弹簧刚度矩阵和质量矩阵；E为未知傅里叶系数向量。

通过求解式（22）的特征值和特征向量，可以得到任意三角形薄板弯曲振动的固有频率和模态振型。

2 数值结果

2.1 收敛性研究

本节对三角形薄板弯曲振动进行了收敛性研究，选用三角形模型为自由边界和固支边界下的等腰直角三角形(a=b=1,α=90°)。M和N为截断值，从M=N=8开始取到M=N=12结束。从表1可以看出，在自由边界条件下，从8×8到12×12，数据的最大误差几乎为零；精度误差不超过0.1%。在固支边界条件下，从8×8到12×12，数据的最大误差小于0.2%。当截断数为12时，满足收敛要求。因此，在满足可靠性和精度的前提下，在下面的数值计算中，级数的截断值为M=N=12。

表1 等腰直角三角形薄板弯曲振动的收敛性和精度研究(a = b = 1，α= 90°)

如图3和图4所示，通过本方法和有限元2种方法得到的自由边界和简支边界下的模态形状的比较，更加直观地证明了本方法的精度和可靠性。

图3 自由边界条件下等腰直角三角形的三阶模态形状

图4 简支边界条件下等腰直角三角形的三阶模态形状

2.2 不同角度下三角形薄板弯曲振动

作为三角形薄板的一个重要几何参数，角度变化对三角形薄板弯曲振动具有重要影响。图5为三角形薄板的无量纲频率参数随a、b夹角α改变的变化曲线，角度范围为50°～130°，角度变化步长设为10°。从图中可以看出，在自由边界条件下，第1、2、5阶无量纲频率参数均随着α的逐渐增大而减小，其余阶频率参数随着角度变化先减小后增大。而在固支边界条件下，从50°～90°，前8阶无量纲频率参数随着α的逐渐增大而减小；但从90°～130°，前8阶无量纲频率参数随着α的继续增大而增大。

图5 不同角度下三角形薄板无量纲频率参数变化曲线

2.3 不同边界条件下任意三角形薄板弯曲振动

本节研究了5 种不同边界条件下3 种不同形状的三角形薄板的弯曲振动特性，选用的三角形模型为：锐角三角形(a=1,b=1, α=60°)；直角三角形(a=1,b =1, α =90°) 和钝角三角形(a=1,b =1, α =120°)。从表2 ～表4 可 以看出，不同的边界条件对三角形薄板弯曲振动的前8阶频率参数有较大的影响。同时，在不同的边界条件下，不同形状的三角形薄板弯曲振动的前5阶无量纲频率参数的变化趋势不同。

表2 不同边界条件下锐角三角形薄板的弯曲振动特性

表3 不同边界条件下直角三角形薄板的弯曲振动特性

表4 不同边界条件下钝三角形薄板的弯曲振动特性

3 结论

本文分析了任意三角形薄板在多种边界（自由、固支、简支）下的弯曲振动特性。首先建立三角形薄板几何模型，引入人工虚拟弹簧来模拟不同边界约束条件；利用坐标变换将三角形域转化为单位正方形域；采用改进傅里叶级数表示容许位移函数，基于经典板理论建立能量方程，最后采用Rayleigh-Ritz法进行求解。该方法可以很容易地得到任意三角形薄板的弯曲振动特性。通过上述研究可得到如下结论:

1）针对任意三角形薄板的弯曲振动特性，该方法的结果与有限元分析结果吻合较好。结果表明，该方法的收敛速度快、精度高。

2）从理论部分的整个步骤来看，该方法不涉及任何复杂的理论、方程或程序，对类似结构的弯曲振动特性甚至自由振动特性研究具有很高的参考价值。

3）从数值结果可以看出，三角形薄板的一些几何参数和边界条件对其弯曲振动有较大的影响，因此在设计三角形薄板结构时需要特别注意这些因素。