齿轮传动特性影响因素的全局灵敏度分析

李安民，于友明，李梁，张文盟

（东风汽车股份 商品研发院，武汉 430100）

0 引言

齿轮是现代机械传动系统中最为重要的零部件之一，由于其恒定的传动比、大功率及高效率等特点，广泛应用于各类工程机械。高端装备的迅速发展对齿轮副的传动精度和稳定性提出了更高的要求。齿轮传动系统结构复杂且受内外激励的共同作用，分析各因素对其动态响应的影响，对揭示齿轮动态传递误差和动态啮合力的形成机理具有重要意义。

齿轮转子系统中，影响齿轮动力学特性的因素主要包括内部激励（如时变啮合刚度）、外部激励和系统参数的随机波动[1]。国内外学者采用集中质量法建立齿轮动力学模型，以动态传递误差（Dynamic transmission error，DTE）和动态啮合力（Dynamic meshing force，DMF）作为响应指标，对齿轮传动系统的动力学特性进行了大量研究。在动态传递误差方面，Kahraman等[2]以DTE 为指标研究了啮合刚度和侧隙对直齿轮动力学特性的影响；曾作钦等[3]以DTE的振动加速度为指标研究啮合刚度和啮合阻尼对齿轮传动时所产生振动的影响；陈安华等[4]以DTE 为指标研究了重合度、支承刚度、啮合阻尼和支承阻尼对齿轮传动系统动力稳定性的影响；张义民等[5]建立了多级齿轮传动系统模型，以DTE为指标，研究啮合刚度和转速对齿轮系统的影响。在动态啮合力方面，Chen等[6]以DMF的最大值为研究指标，详细分析了动态间隙对齿轮传动系统非线性特性的影响；Xiang等[7]以DMF的均方根值和最小值为研究指标，深入讨论了齿轮偏心和转速对系统的影响。

当前大多数文献通常采用单一变量原则，分别研究各因素对传动系统响应的影响，容易忽略各因素间可能存在的相互耦合对系统动态响应的影响，无法客观分析各因素对系统响应影响的显著程度。全局灵敏度分析[8]是研究因素在全局范围内变动对模型输出的影响，能够辨别影响系统响应的关键因素和各因素间的耦合作用。目前，基于方差的Sobol’方法是全局灵敏度分析的主流算法之一[9]。

本文借助于三自由度齿轮非线性动力学模型，采用基于方差的全局灵敏度分析Sobol′方法，研究齿轮时变啮合刚度、啮合阻尼、支撑刚度和阻尼及齿侧间隙等因素对齿轮动态传递误差和动态啮合力的影响，揭示影响齿轮系统传动特性的关键因素，为高传动精度、高可靠齿轮设计与制造提供理论指导。

1 齿轮动力学分析

1.1 动力学模型的建立

本文考虑时变啮合刚度、啮合阻尼及支撑体的刚度与阻尼等因素，基于集中质量法建立了3自由度齿轮啮合动力学模型，该模型具有一定工程实际的代表性[2,4]，如图1所示。

图1 齿轮转子系统动力学模型

根据牛顿定律建立系统的动力学方程：

1.2 模型求解

由于模型（1）的时变非线性，很难推导得到其解析解，通常采用Runge-kutta法或基于Simulink框图的方式数值求解[1]。本文采用前一方法求解，选择状态变量Z：

利用变步长Runge-kutta法对系统的状态方程进行数值求解，获得动态传递误差q（t），并根据式（5）计算齿轮的动态啮合力。

1.3 齿轮系统动态响应

本文以动态传递误差（DTE）和动态啮合力（DMF）作为响应指标分析齿轮的动态特性，这是因为动态传递误差直接反映了齿轮的传动精度，动态啮合力能够展现齿轮在作业过程中的受载状况。典型的齿轮传动系统的动态传递误差（DTE）和动态啮合力（DMF）响应分别如图2和图3所示。在轮齿啮合过程中，动态传递误差和动态啮合力均产生周期性的振荡，主要发生在由单齿啮合向双齿啮合过渡的区域。

如图2所示，本文采用动态传递误差最小均值mDTE和单双齿交替啮合时的阶跃值δDTE表征齿轮传动精度，使用齿轮系统的振荡幅值ADTE和振荡衰减指数ηDTE描述齿轮传动系统的稳定性。

图2 动态传递误差响应

如图3所示，采用齿轮动态啮合力均值mDMF表征齿轮作业过程中的受载情况，动态啮合力的振荡幅值ADMF反映齿轮啮合过程中的振动冲击。最后，以振荡衰减指数ηDMF表示齿轮传动的平稳性，ηDMF越大传动可快速趋于平稳。另外，采用数学方程x=Ae-ηt来近似描述齿轮系统的传动振荡衰减，η可通过数据拟合得到。

图3 动态啮合力响应

综上，本文以动态传递误差的最小均值mDTE、单双齿交替啮合时的阶跃值δDTE、振荡幅值ADTE和衰减指数ηDTE，以及动态啮合力的均值mDMF、振荡幅值δDMF和衰减指数ηDMF作为研究指标，综合表征齿轮传动系统的响应。

1.4 模型参数

在齿轮传动系统中，齿轮静态传递误差（见式（2））、齿侧间隙（见式（4））及由于单双齿交替啮合时刚度的时变性均会引起齿轮系统产生强烈的非线性。下面对时变啮合刚度和啮合阻尼的计算进行简要说明。

关于时变啮合刚度km计算主要有势能解析法和有限元法[11]。而啮合阻尼的机理较为复杂，与齿轮的材料和结构有关，其大小可依据啮合刚度来测算[3]：

因此，齿轮的啮合阻尼也具有一定的时变特性。由于啮合阻尼产生机理的复杂性，本文将其作为一个独立参数，分析其对齿轮系统动态响应的影响。

为便于研究啮合刚度和啮合阻尼的大小与其时变性对齿轮传动系统响应的影响，将它们视为由均值（mk，mc）和阶跃值（δk，δc）两部分组成：

从式（7）可以看出，影响齿轮动态特性响应的因素除了上述参数外，齿轮的支撑刚度和阻尼对系统亦具有一定的影响。因此本文采用全局灵敏度分析方法，旨在辨别影响齿轮传动系统的关键因素，揭示齿轮动态传递误差和动态啮合力的形成机理。

2 动态特性影响因素分析

2.1 全局灵敏度分析基本原理

本文使用的全局灵敏度分析方法是基于方差的Sobol′法，它的基本思想是当输入参数间相互独立时，响应函数f（x）可唯一分解为2k个递增项之和，通过对模型参数采样，估算出模型输出响应的各项方差，最终计算各阶灵敏度指数。响应函数f（x）的具体分解形式为

式中：E(·)表示期望，x-i表示除了xi外所有变量组成的向量。

参数i的总灵敏度指数STi，包含该参数与其他参数相互耦合作用的影响。故当Si和STi相差较大时，即可认为参数i与其他参数之间存在明显的耦合作用。

2.2 灵敏度指数的计算

3 算例分析

根据表1给出的齿轮副参数，运用有限元方法计算齿轮的时变啮合刚度（如 图4），建立3自由度齿轮系统动力学模型，采用全局灵敏度分析方法，以动态传递误差和动态啮合力响应为目标函数，辨别影响齿轮传动系统的关键因素。表2给出齿轮动力学模型的参数及取值范围，表中x1～x10分别为时变啮合刚度均值、刚度阶跃值、啮合阻尼均值、阻尼阶跃值、齿侧间隙、主从动轮的支撑刚度和阻尼及静态传递误差，假定各个参数服从均匀分布。

表1 齿轮副基本参数

表2 齿轮动力学模型参数的概率分布

图4 齿轮时变啮合刚度

为保证计算的准确性，设定所抽取参数样本数N为5000，基于Sobol′法计算齿轮传动系统响应指标的一阶和总阶灵敏度指数，分别如图5和图6所示。

3.1 动态传递误差响应

根据图5可发现：

图5 动态传递误差响应的灵敏度指数

1）对于动态传递误差最小均值mDTE，齿侧间隙的灵敏度指数远大于其他激励因素，表明齿侧间隙对mDTE的影响最 为 显著。

2）对于动态传递误差的振荡衰减指数ηDTE，齿轮时变啮 合 刚度、齿侧间隙、主从动轮的支撑阻尼均 有 影响，其中啮合刚度均值的影响最大。

3）对于动态传递 误 差δDTE，啮合刚度的影响较为显著，且啮合刚度均值的影响大于其阶跃值。

4）影响动态传递误差振荡 幅 值ADTE的主要因素为啮合刚度和主从动轮的支撑阻尼，其中啮合刚度均值的灵敏度指数最大，表明其影响最为显著，且ADTE随啮合刚度增大而增大。

5）对于δDTE、ADTE和ηDTE，啮合刚度的阶跃值对上述指标的影响均较大，表明啮合刚度的时变特性对动态传动精度的稳定性具有明显影响。

6）最后，每一个模型参数的一阶灵敏度指数和总阶灵敏度指数基本相等，说明各模型参数对动态传递误差的影响不存在明显的相互耦合。

3.2 动态啮合力响应

根据图6可发现：

图6 动态啮合力响应的灵敏度指数

1）对于动态啮合力均值mDMF，各因素的一阶灵敏度指数均偏低，啮合刚度、啮合阻尼和支撑阻尼等参数的一阶灵敏度指数和总阶灵敏度指数差别较大，表明这些参数与其他参数间存在明显的耦合作用。经过进一步对各参数的高阶灵敏度计算发现，啮合刚度、啮合阻尼与支撑阻尼之间存在的相互耦合对mDMF的影响最为显著。

2）对于动态啮合力的振荡衰减指数 ηDMF，啮合刚度和主从动轮的支撑阻尼都有影响，其中啮合刚度的阶跃值影响最大。3）对于动态啮合力的振荡幅度ADMF，啮合刚度的影响最为显著，尤其是啮合刚度均值。

4 结论

1）对于动态传递误差响应，各因素之间没有明显的耦合作用，影响齿轮传动精度的关键因素是齿侧间隙和啮合刚度。同时，啮合刚度和支撑阻尼对齿轮传动平稳性具有明显的影响，其中啮合刚度均值的影响最大。

2）对于动态啮合力的均值，发现各因素之间存在明显的耦合作用，其中啮合刚度、啮合阻尼和支撑阻尼之间的相互耦合最为突出。啮合刚度对动态啮合力的振荡衰减指数和振荡幅值影响显著，尤其是啮合刚度的阶跃值，表明啮合刚度的时变特性严重影响齿轮传动的振动冲击和稳定性。另外，支撑阻尼对齿轮的传动稳定性的影响亦不可忽略。