探究动量定理解决双棒模型问题

李衡

摘  要：动量定理是高中物理题中解决问题的主要方法和手段，学生需要严格牢记课上所讲的重点内容，运用动量定理灵活解决物理问题。本文从动量定理教材及分析展开，探究了用动量定理如何解决物理典型问题。

关键词：高中物理;动量定理;解决问题

一、动量定理教材及学情分析

（一）教材分析

在物理新人教版的选修3-5教材中，有讲解“动量与动量定理”的主要内容。教材中，对于动量知识这一节知识点的讲解，通过前一节实验“探究碰撞中的不变量”为主题做为学习这一节内容的铺垫，进行知识点的引入，学习者提出了动量的概念以及公式，再通过物理科学历史和动量的实验例题方法来进一步加深了学生在动量变化解决问题的理解;引导他们推导其基本表达式，再通过“微元法”将动量定理的应用范围由恒力转移到非恒力，运用动量定理结合微元法处理的典型问题，旨在帮助学生建立模型，提升物理核心素养，篇末介绍生活实例来帮助学生认识动量定理的实际应用。

这节教材直接描述了“动量”这一物理量，并没有建立具体的情境或模型去激发学习者的思索，导致他们不仅没有能够彻底地认识和运用这一概念来解决相关的物理问题，也起不到启发和提高学生的科学思考能力的作用;教材在推导出动量定理基本表达式之后缺少验证性的物理实验，不利于学生科学探究能力的培养;学习动量定理后，可引导学生将动量定理与已掌握的动能定理进行对比学习，既能复习巩固动能定理的知识，也能理解两者之间的联系与区别。

（二）学情分析

学生在掌握了上节课的学习内容后，已经能列举出许多种关于物体碰撞的模型，还能够掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的异同点，也学会了动量及其矢量性的相关知识。但学生对于动量基本概念的理解和动量定理的应用方面存在一定困难，例如对物体进行受力分析时，因漏掉某个力而导致分析物体合外力冲量出现错误等。高二的学生已具备一定的抽象思维和逻辑思维，教师作为教学过程的主导者，需要去引导学生转变认知冲突，從而达到对知识正确的理解。

二、动量定理与电磁感应结合初探

动量定理内容是物体所受外力总冲量等于动量改变量，即 。冲量是力在时间上的累积，对于变力，如果获知对某段时间 的平均作用力为 ，那么这个力的冲量 。由于部分导体的运动而导致电磁感应现象的发生，这时导体所受安培力为 ，且为变力，即 （ 为电流对时间的平均值）。那么，此安培力的冲量 。

依据电流的定义，公式 的主要研究对象应该是通电导体的某个截面上的电荷量，且这个电流所要求的结果就是，单位时间内通过导体横截面的电荷量，也就是对时间的平均值，变形后可以得 。这个电量表达式具有一般性，因此，不管流过导体的电流是否不变，只要代入这段时间内电流的平均值，便可求出电荷量。

对某一由电磁感应形成的电流回路来说，根据法拉第电磁感应定律，所求感生的电动势是为其电动势的平均值，再由 （为回路中的总电阻）即我们可以计算得到 ，继而计算 。那么，回路中某一个通电半导体所承受的是安培力 在内部的冲量 。如果 不发生改变，这时我们可以求出 ， 是一个导体移动的距离。

下图的图1可以清楚的表示出以上的关系，通过下图图1的使用，计算题在做作答时，学生需要遵循循序渐进的原则进行公式的选取，同时应该注意回答问题的规范;于选择题而言，应快速筛选出一个最佳的公式来进行定性分析或者是定量计算。

三、两种双棒模型建构

（一）等长双棒运动模型

如图1所示，足够长的水平光滑金属导轨，分布着方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 。已知棒1、2质量均为 ，长度均为 ，电阻均为 ，其余部分电阻不计;棒1以速度 向右运动，棒2无初速度;除匀强磁场对棒的作用外，等长双棒在水平方向无其他力作用。

1.运动分析

由于棒1切断磁感应线，产生感应电动势，闭合电路中产生感应电流。感生电流的方向可由右手定则判断，双杆上的安培力方向可由左手定则确定。由分析可知，棒1做变减速运动，棒2做变加速运动。双杆运动全过程的 图像如图2所示。

2.电流分析

棒2在安培力作用下向右运动也产生感应电动势，电动势与棒1产生的电动势相反。如果棒1和棒2在某一时刻的移动速度为 和 。回路电流由闭合电路的欧姆定律可求，回路电流大小 。可以看出，随着棒1速度的 减小，棒2速度 增大，因此环路电流减小。当二者速度相等，双棒达到相对静止，达到了相对稳定状态，电路中此时电流为零，电路中的磁通保持不变。若为不等长双棒又该如何分析？本文后面会继续分析。

3.动量分析

在整个运动过程中，双棒的方向保持水平，且并无其它外力作用，由于两棒等长，我们可以推断出其在水平方向上所受安培力合力为零，因此根据动量守恒有 ，即 。从双棒初态到稳态的整个运动过程中，对棒1，由动量定理有 ，式中 为时间间隔 内的平均电流。因此，在回路横截面的电荷量为 。

若 内，双棒平均速度分别为 、 ，则电流 ，有 。解得 ，此即双棒发生的相对位移大小。

说明：①若对棒2建立动量定理方程，所得结果相同。② 的分析还有另一条思路。由法拉第电磁感应定律有; 电流 ，电荷量 。解得 。

4.能量分析

在整个回路中，电流发热。由能量守恒定律可以推算得出全过程双棒系统产生的焦耳热，即 。

（二）非等长双棒运动模型

如图，光滑且足够长水平导轨置于匀强磁场中，场强为 ，右侧导轨间距是左侧导轨间距2倍，导轨均足够长。质量 的导体棒 和质量 的导体棒 均垂直导轨放置，均处于静止状态。 棒电阻为 ， 棒电阻为 ， 棒一直在左侧间距为 的导轨上运动， 棒则一直在右侧间距为 的导轨上运动。现给 一水平向右的初速度 。

1.运动分析

由于棒 切断磁感应线，产生感应电动势，闭合电路中产生感应电流。感生电流的方向可由右手定则判断，双杆上的安培力方向可由左手定则确定，双杆上的安培力方向可由左手定则确定。由分析可知， 棒作减速运动，棒 作加速运动。在这里尤其要注意的是，两棒长度不同，在二者速度想等时，回路中仍有感应电流，只有当 時，感应电流消失，此后，两棒相对静止做匀速直线运动。

2.电流分析

棒 在安培力作用下向右运动也产生感应电动势，电动势与棒 产生的电动势相反。如果棒 和棒 在某一时刻的移动速度为 和 。棒 的有效长度为 ，由闭合回路的欧姆定律可得，回路电流大小 。可以看出，随着棒 速度的 减小，棒 速度 增大，因此环路电流减小。当二者速度满足 ，双棒达到相对静止，达到了相对稳定状态，电路中此时电流为零，电路中的磁通保持不变。

3.动量分析

非等长双棒在整个运动过程中，水平方向虽无其它外力作用，但由于两棒长度不等，导致二者在水平方向上所受安培力不等，致使双棒系统合力不为零，由此判断这个系统动量并不守恒，因此不能根据系统动量守恒时的关系式 来求出最终速度 这个错误结果。这和前面分析最终二者速度满足 相矛盾。

动量既然不守恒，因此可对两棒分别运用动量定理：则对棒 有 ，而对于棒 则满足 ，两式联立可得 再结合稳定运动时二者速度关系 ，便可得到 ， 的结果。同样，我们还可求出通过导棒的电荷量，以 棒为例 ，即 。

4.能量分析

最后，我们再来分析整个系统的能量问题。对于整个回路来说，初始时棒 获得速度 ，之后感应电流发热，最终二者速度分别为 ，因此全过程双棒系统产热可由能量守恒定律求得，即 。

结束语：动量定理的适用范围很广，其研究面广，在解决问题时更加简单有效的得到答案。所以物理教师应该加深对这方面知识的了解，整理出用动量定理解决物理问题的典型题，来引导学生正确学习动量定理，加深对动量定理知识的认识。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：1-5.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.物理选修3-5[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]王波，陈娴.体现科学本质的高中物理教学初探——以“动量和动量定理”为例[J].物理教师，2020，41（3）：6-9.