结合正则化求解的机场场面多点定位方法

戴 敏

(中国民用航空飞行学院 计算机学院，四川 广汉 618307)

0 引 言

机场场面管控的关键是需要知道飞机在任何时刻的位置，目前较为先进的定位方法主要有广播式自动相关监视协议[1,2]和多点定位(multilateration，MLAT)[3,4]。其中MLAT系统是根据二次监视雷达，利用多个不同地面站接收到信号的到达时差(time difference of arrival，TDOA)进行独立定位，其定位独立性更强，是未来空中交通管制发展的关键技术。

MLAT系统中通常先根据TDOA测量数据构建一个双曲型方程组。然后通过数值求解方法来求解该模型进行定位计算。常用的求解方法有经典Taylor方法(泰勒级数展开式法)、经典Chan方法等[5]。然而在某些情况下，求解该双曲型方程组时经常会遇到数值病态问题，即系数矩阵的条件数非常大[6]。其结果是在求解方程组时，解不能保证正确性或有很大误差。目前，一些学者对传统方法进行了改进，例如文献[7]针对传统Taylor方法依赖初值选取的问题，引入正则化理论对初始位置误差进行修正，其求解精度有一定程度的提升。文献[8]针对传统Chan方法受TDOA观测噪声影响的问题，引入了Kalman滤波，通过递推估计来减小噪声干扰，提高了定位精度。另外，还有学者采用了智能算法来定位，例如文献[9]采用一种基于混沌理论的粒子群优化算法，根据测量的TDOA数据，通过种群迭代寻优过程来估计移动位置。这类方法虽然能够获得较高的定位精度，但是其算法迭代需要大量的计算时间，会影响定位算法的实时性。

对于图像处理[10]、电磁散射[11]等应用中发现的一些病态问题，一些学者通过应用正则化方法来解决，将病态问题转化为满足Hadamard条件的良态问题。正则化方法通常可分为直接正则化方法(如TSVD、Tikhonov等)[12]和迭代正则化方法(如Landweber、GMRES等)[13]，其中直接正则化方法适用于小规模离散不适定问题的求解，且求解速度较快。由于Tikhonov方法能够很好地解决病态不适定问题且能保证收敛，在很多应用中取得了较高的求解精度。

受这些应用的启发，考虑到MLAT中的TDOA数值模型规模不大、可能存在病态问题且需要求解速度快、精度高等特点。本文首先将TDOA方程组构建成一个逆问题数据模型，然后将Tikhonov正则化方法引入到数据模型求解中，从而获得更加准确的位置估计。

1 MLAT数学模型

1.1 MLAT基本原理

MLAT是根据飞机发送信号的TDOA来计算之间距离，然后再根据多个接收站之间的位置关系来定位飞机的位置[14,15]。若使用MLAT定位目标的二维坐标，则需要测量至少3个接收站从某个飞机接收相同信息的时间。通过一个TDOA信息所获得目标位置的轨迹为一个曲面，当存在两个TDOA信息时，两条曲面的交点即为目标的平面二维坐标，如图1所示。中央处理站根据接收站之间信号的TDOA，通过相交双曲面计算来获得飞机位置。当设定目标位置为三维坐标时，则至少需要4个接收站。

图1 具有3个接收器和两个双曲面的基本MLAT结构

1.2 TDOA数据模型

将MLAT地面系统建模成三维坐标系，通常以1号接收站为参考站用来构建TDOA数据模型，坐标系如图2所示。

图2 MLAT系统的坐标系描述

将未知的目标位置p=[x,y,z]T与一组已知参数(即TDOA测量值)相关联。通过多个TDOA信息即可得到一个在几何上表现为双曲面的函数，表示为[16,17]

(1)

(2)

最后，为了获得关于p的具体数值，以式(2)的形式构造特征方程组。特征方程对于任何定位算法都是非常重要的，其将未知量与一组接收站及其测量值相关联。在这个意义上，当这种关系被转换成向量矩阵形式，即称为TDOA数据模型。因此，数据模型代表了由任何定位算法构造的特定逆问题的基本形式，表示为

Gp+n=d

(3)

在得到该逆问题后，通过适当的求解算法进行求解，即可得到目标位置解。在某些情况下，求解该逆问题时经常会遇到一些数值问题，例如系数矩阵的条件数非常大。这一问题被定义为一个病态的不适定问题，其结果是，在求解方程组时得到的解是不正确的或有很大的误差。

1.3 定位算法的基本步骤

众所周知，MLAT系统的位置精度取决于3个要素：①传感器测量精度；②用几何精度稀释(geometric dilution precision,GDOP)参数量化的地面站空间分布(也称为系统几何结构)；③用于将TDOA测量空间转换为位置空间的定位算法。通常假设，MLAT定位误差可以用具有给定方差的无偏高斯分布建模。对于已经部署好的测量装置，其传感器测量精度和几何部署结构是固定的，通常在建模中设置为其最小方差值，决定了定位系统的精度极限。为此，后续的定位算法决定了整个系统是否能够达到该精度极限。

在MLAT系统定位问题的框架中，目标位置是一组满足TDOA方程组的值，为此定位算法通常由两部分组成：数据模型和数值求解方法。数据模型通过方程组变换，构造一个数值逆问题，将未知目标位置与已知参数集显式地联系起来。而数值求解方法的目的是求解由此产生的逆问题。对于给定的场景，最好的定位算法需要对数据模型和数值求解方法进行最佳组合。例如，在机场场面监视的应用下，主要的约束条件是精度要求高和不良几何结构导致逆问题求解的问题。

图3 定位算法的基本步骤

2 提出的基于Tikhonov正则化的数据模型求解

通过上述分析，基于统计方法的TDOA数据模型在定位精度、接收站数量等方面具有很大的潜力。只要求解方法选择适当，就可以实现很高的定位精度。但是传统求解方法存在计算量大、不能保证收敛和受噪声影响等问题，为此本文引入了Tikhonov正则化方法来进行求解。同时，为了使其更加适用于MLAT应用场景，对其Tikhonov正则化参数值进行最优化选择，以此平衡在求解过程中精确解成分和噪声成分的作用。

2.1 传统求解方法缺陷

求解上述MLAT的非线性逆问题需要线性近似和迭代数值，目前适用的方法大多属于最小二乘家族，即使用伪逆矩阵。由于这些方法利用最大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE)具有的一致性和渐近有效性，因此需要对解进行合理的先验估计，并且不保证收敛，即不能保证提供可接受的精度。

(4)

对于涉及非线性的逆问题，还需要迭代过程。针对该TDOA数据模型，目前最常用的求解方法是Taylor法和Chan方法。Taylor法是一种迭代方法，根据一个初始预测值，通过局部线性最小二乘将估计位置逐步逼近目标真实位置。然而，这种方法计算量较大，位置求解精度依赖于初始预测值，且不能保证最后结果的收敛性[18]。Chan方法是一种非递归算法，该方法计算效率高且具有明确的解，但存在受观测噪声影响大、非线性较强的缺点，只有在噪声服从高斯分布时才能达到良好的精度[19]。

2.2 基于Tikhonov正则化的求解方法

针对传统求解方法的缺陷，需要一种精度高、鲁棒性好的方法。正则化方法是求解不适定问题的合适方法，其采用与原不适定问题相“近邻”的适定问题的解去逼近原问题的解，能有效解决病态性所引起的估计不稳定。目前，一些正则化的方法被引入到位置估计应用中，包括Tikhonov正则化、奇异值分解(singular value decomposition,SVD)和总体最小二乘(total least squares，TLS)正则化等。

经典Tikhonov在工程和科学的许多应用中被用来解决病态问题，其主要思想是结合了有关最终解的大小和平滑性的先验信息[20]。经典Tikhonov正则化可以解决式(4)中残差范数和称为“平滑”范数的线性组合，如下所示

(5)

利用Tikhonov正则化概念，定位问题的似然函数可以表示为

(6)

式中：d(p)表示精确的距离差，即式(2)中没有随机噪声项，N(p)是测量误差的协方差矩阵，det()表示行列式。因此，通过最小化以下非线性函数使似然函数最大化

(7)

用泰勒级数展开法求解式(7)时，Tikhonov意义下未知目标位置的估计形式如下

(8)

(9)

值得一提的是，由于实际应用中的协方差矩阵N(p)通常为未知，因为它依赖于真实的目标位置。因此在实践中，通常将其从式(9)中移除，假设为单位矩阵。

一般来说，逆问题的残差由下式给出

(10)

(11)

其中，向量hλj表示为

(12)

2.3 基于L-曲线法的正则化参数选择

正则化参数λ和正则化矩阵L的选择直接影响TDOA数据模型的求解精确性，其中λ决定了解对误差的敏感性与解精确性之间的折中。λ选择过大，滤去的噪声成分较多，会导致重建信号过于平滑，部分有效信息丢失；λ选择过小，得到的解向量逐渐收敛于正确解，但重建信号中的噪声不能得到很好的抑制。所以需要根据实际应用场景选择最佳的参数值。

首先，正则化矩阵的选择与目标位置向量p的统计量直接相关。本文假设p的组成部分是非随机且不相关的，则正则化矩阵的标准选择为L=I3，其中I3是3×3单位矩阵。

另外，还可以通过曲率公式直接找到最大曲率点，进而确定正则化参数λ,最大曲率公式表示如下

(13)

在本文实验中的TDOA数据模型上，在不同正则化参数下的Tikhonov正则化求解残差的L曲线如图4所示。

图4 不同正则化参数下的L曲线

通过上述实验可以得到，当正则化参数λ设置为0.1时，能够得到精确的解且对TODA数据噪声有很好的抑制作用，适用于本文MLAT问题。

3 仿真与分析

3.1 仿真设置

根据图5所示的国内某个具备4C级跑道的中型机场实际布局，通过Matlab来构建仿真环境，仿真机场尺寸为1600m×3500m，具有两条跑道和8个接收站(Rx)，以Rx1接收站为参考站，机场跑道及接收站的坐标位置如图6所示。在视距条件下，设置TDOA测量值服从均值为0，标准差σ=10ns的高斯分布N(0,σ2)，相关系数为0.3。由于机场场面管控中，飞机的平面位置最为关键，其高度信息不是非常重要，所以在仿真实验中，将MLAT设置为二维平面定位，即假设目标高度固定为15 m。

图5 机场跑道实景

图6 机场跑道及接收站位置的坐标

3.2 性能度量

在机场MLAT系统的定位性能评估中，通常用GDOP和均方差误差(RMSE)作为定位精度度量。其中GDOP能够反映出定位精度的覆盖情况，可用作系统进行布站时的参考指标，其值越小，表明定位性能越好。对于无偏估计的二维时差定位，GDOP 可用来描述系统定位误差的分布及变化趋势，其表达式为

(14)

其中，σx、σy分别表示定位系统得到的目标位置坐标在x, y轴上的误差的标准差。

RMSE能够直观反映定位误差和误差分布的稳定性，其为定位坐标与实际位置坐标误差的均方根，表达式为

(15)

根据欧洲制定的地面运动制导和控制系统(A-SMGCS)S模式多点定位系统的定位性能规定(ED117)，其要求在跑道、滑行道和停机位的定位GDOP小于7.5 m，在泊位的定位GDOP小于20 m。

3.3 定位性能分析

在设置Tikhonov正则化参数λ=0.1，TDOA测量噪声的标准差σ=5ns情况下，测试本文MLAT系统的定位精度覆盖情况并与现有方法进行定位误差比较。

首先将仿真区域分割为10m×10m的若干网格，设置每个网格中心点依次发送信号，定位系统测量TODA数据并进行定位，得到的GDOP结果如图7所示。可以看到，对于机场两条跑道和滑行道覆盖的位置，基本可以实现GDOP<3.5 m的定位精度。对于整个仿真区域，GDOP<2 m的覆盖率达到了52.6%，GDOP<4 m的覆盖率也达到了80.3%，可以说定位精度以及覆盖率都较为优良。

图7 MLAT系统的GDOP覆盖范围

然后，为了更加直观比较定位算法的性能，在飞机跑道上随机选取20个点作为目标位置，通过定位系统对其进行定位并计算定位误差。另外，将本文方法(Tikhonov正则化求解)与现有的几种方法进行比较，分别为：经典的Taylor方法；经典的Chan方法；文献[7]提出的具备初值修正的改进型Taylor方法；文献[8]提出的结合Kalman估计的改进型Chan方法。各种方法对该20个目标位置定位误差的均值和标准差见表1。

表1 定位算法定位误差的平均值和标准差/m

表1可以看到，经典Taylor算法的定位误差均值与经典Chan算法相近，但是标准差却明显大于经典Chan算法。这是因为Taylor算法是一种迭代法，其定位精度与初始值相关性很大，当对某个位置定位时的初始值选择合适时，则精度较高，反之则可能会较低，所以定位精度的稳定性较差。文献[7]采用初值修正技术提高了Taylor方法的收敛性和收敛精度，虽然其精度受初始值的影响降低，但精度极限还是由经典Taylor方法决定。文献[8]采用了Kalman估计技术来减小观测噪声干扰产生的误差，提高了对测量误差的鲁棒性。所以相比于经典方法，这些改进方法在一定程度上提高了定位精度和稳定性。而本文方法采用了新的Tikhonov正则化求解，能够有效解决TDOA数值方程求解过程中的病态问题，提高了收敛精度，获得了最好的定位精度和稳定性。

最后，在不同的TDOA测量误差(测量时间噪声)下，分析各种方法对时间噪声的鲁棒性和定位精度。TDOA测量误差为定位系统的时间噪声，由传感器时间漂移决定。这里设置服从高斯分布的TDOA测量误差的标准差σ=2 ns、5 ns、10 ns、20 ns、30 ns、40 ns、50 ns、60 ns、70 ns共9种情况。各种定位算法的定位精度曲线如图8所示。

图8 不同TDOA测量误差下的定位精度

从图8可以看出，Taylor方法的 RMSE 随着 TDOA 测量误差的增加而不断增大。这是因为Taylor方法在选择初值时对真实值范围太过依赖，有着非常大的局限性，当测量误差越大，初始值接近真实值的机率就越小。Chan方法的RMSE也具有较大增加，这是由于其容易受到测量噪声的影响。而本文方法获得了最佳性能，这是因为Tikhonov正则化求解方法能够对观测噪声进行有效抑制，提高了定位系统的鲁棒性。

4 结束语

本文提出了一种MLAT定位算法，特点是将TDOA构建成一个数据模型，引入Tikhonov正则化方法来求解，不仅能够解决求解方程时的病态不适定问题，还提高了求解精度和对观测噪声的抑制能力。对于中小型机场的滑行道基本可以实现GDOP<3.5 m的定位精度覆盖。

在今后的工作中，考虑将监测区域从机场场面扩展到更广域的范围，并研究地面站的几何布局对定位精度的影响。