数形结合，谈斜分解在抛体运动的应用

贵州 杨 勇

抛体运动模型以及类似于抛体运动的模型在历年高考试题中频繁出现，此类型的运动规律是高考的重点，也是运动学的难点。此类型的问题是力学与运动学的综合问题，此类问题包含了受力分析、运动分析、力与运动关系的认识和理解、运动矢量合成的理解，考查学生对曲线运动的处理方法。为了能够充分理解抛体运动的规律及运动的合成与分解问题，本文将从选择恰当的坐标系的角度来分析抛体运动，理解矢量叠加原理不以具体坐标系的选择而转移，从而充分认识各运动的矢量性及分运动的独立性。

抛体运动常见的有平抛、斜抛和竖直方向上的抛体运动，在处理平抛运动和斜抛运动时，在高中阶段的教学中通常选择直角坐标系来处理，按照题目的要求及条件建立直角坐标系。建立坐标系处理运动学问题，目的是把复杂的运动简单化，而对于斜抛运动，建立直角坐标系不一定是最简单的方法。在处理竖直方向上的抛体运动时，通常应用的方法是规定正方向，根据匀变速直线运动规律建立运动方程进行求解。基于以上的方法，即使很多学生能够做对，也可能不知道方法中隐含的物理思想，只是一种记忆性的数学应用。为帮助学生理解运动的矢量合成以及优化解决抛体运动的方法，笔者将从受力分析、运动分析、力与运动的关系进行阐述。

1.抛体运动的基本特点与坐标系的选择

抛体运动的基本特点是加速度的矢量与初速度的矢量具有一定的夹角α，且加速度与初速度都是恒定的矢量，抛体运动是具有恒定加速度的曲线运动，且轨迹为一条抛物线。由于加速度g和初速度v0都是恒定的物理量，通常的方法是以抛出点为坐标原点建立坐标系，构建运动的矢量关系。平抛运动是学生最常见的抛体运动，同时在平抛运动问题中建立直角坐标系也是比较简单的方法，这里不再赘述，下面重点介绍斜抛运动与竖直方向上的抛体运动。

1.1 斜抛运动的特点及分析

如图1是小球的斜抛运动图像，初速度v0与水平方向的夹角为α，虚线为小球的运动轨迹，一般分析斜抛运动的方法是建立直角坐标系如图2所示：

图1

图2

sx=tv0cosα

则①为小球运动的总位移与时间的关系。

根据以上的分析可知，建立坐标，无疑是把复杂的曲线运动分解为两个简单的直线分运动，在寻找两个分运动的规律，最后再求矢量和，小球的运动规律不会因选择坐标系的变化而变化。通过对运动的合成与分解可知，物体的两个分运动不一定都要垂直。因此可以把小球的运动分成沿v0方向，由于在v0方向小球也没有受到力，可以看成匀速直线运动；在竖直方向上受到重力且初速度为零，做自由落体运动，因此小球的运动可以看成是v0方向上匀速直线运动与竖直方向上自由落体运动的矢量和，如图3所示。

图3

根据几何关系有：

x=s1cosα

h+h1=s1sinα

图4

对比以上的两种方法，建立直角坐标系进行正交分解的方式，学生容易理解，但是把速度分解到竖直方向上，增加了竖直方向上的复杂性，同时对于竖直上抛运动的方向的判断上添加了难度。应用斜分解可以直击物体的运动情况，根据物体的运动情况建立最简洁的坐标系。这才是物理的解题思想，用最简单的方法处理复杂的问题。建立斜分解不仅能使问题变得简单，还能培养学生利用数学方法处理物理问题的能力，对学生物理学科素养的提升有很大的帮助，使学生对运动的合成与分解得到充分的认识，在培养建立运动的独立性和矢量的合成思想上起到质的作用。

1.2 利用斜分解处理斜抛运动的极值问题

【例1】如图5所示，一个可看成质点的小球以初速度v0，方向与水平方向成α斜上抛出，重力加速度为g，求小球的射程最远时抛射速度v0与水平方向的夹角α为多大？

图5

图6

【例2】如图7所示，有一长直斜面，其倾斜角为θ，现在坡底以一定的初速度v0斜抛出一小球，不计空气阻力，当初速度v0方向与斜面的夹角为多大时，小球的射程最远？

图7

【解析】由于小球只受重力，小球做匀变速运动，为使小球的分运动简单，建立斜坐标系如图7所示。假设初速度方向与斜面的夹角为α，与竖直方向的夹角为β，根据矢量三角形及几何关系有

从以上的分析可以看出，不管是在水平面上斜抛还是在斜面上斜抛，当射程最远时，初速度v0的方向必须在抛出点和落点所在直线与过抛出点的垂线夹角的角分线上，因此只要知道夹角的大小就可以快速地求出小球抛出的方向。

图8

总结：从以上分析来看，不管是哪一种形式的斜抛运动，射程最远时的初速度的方向在小球落点和抛出点所在直线与过抛出点的垂线夹角的角分线上，同时最远射程也为以上的两个结果，选择题里可以直接应用结论处理问题。

【例3】如图9所示，从地面以初速度v0斜抛一小球，右侧有一堵高为h的墙，要求小球能飞过墙，求小球以怎样的角度抛出，才能使初速度最小？

图9

【解析】根据题意建立斜坐标系如图10所示，根据矢量关系及几何关系，由正弦定理有：

图10

总结：通过以上的两种斜抛运动的极值分析，发现不管是速度恒定时求解射程的最远问题还是射程恒定时求速度的最小问题，最初速度的方向都一样，都在射程方与竖直面形成夹角的角分线上，对于其他方向的抛射极值问题，读者可以借鉴此方法，应用斜坐标系进行分析及求解。由于学生对斜坐标的接触较少，可能不容易接受，但是相比正交分解来说，斜分解不需要分解初速度，更多的是应用数学方法。因此应用斜坐标处理斜抛问题，不仅让学生充分利用数学方法解决物理问题，同时提升学生对矢量合成的理解，培养学生的物理学科素养。

2.利用斜坐标解决抛体两体问题

对于抛体的两体问题，通常见到的有两体相遇，两体的距离关系等，通常的解法是通过时间关系或者位移关系建立两体各自的运动方程，求解、分析即可。但是当物体运动比较复杂时，分别建立运动方程会给处理此类问题带来很大的不便。下面通过对抛体的运动分析，建立斜坐标系处理两体问题。

【例4】如图11所示，小球A从离地面高度为h处自由下落的同时，小球B从地面以初速v0向上抛出，求两球相遇时的时间?

图11

图12

【例5】如图13所示，某时刻在水平面O点沿着竖直平面内同时抛出A、B两个小球，A球的初速度vA=30 m/s，方向与水平面的夹角为30°；B球的初速度vB=40 m/s，方向与水平面的夹角为60°，求1 s后两球相距多远？

图13

【解析】可以利用斜坐标进行斜分解，把两小球的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和重力方向的自由落体运动，由于在竖直方向上两球同步，所以它们的距离即为初速度方向上的距离，距离的矢量和如图14所示，所以两球的距离为

图14

代入已知条件得d=50 m

结束语