含双驱动五杆回路的弱耦合并联机构型综合

朱小蓉 李世杰 周宇东 沈惠平

(常州大学机械工程学院, 常州 213164)

0 引言

并联机构由于刚度大、承载能力强、精度高、自重负荷比小以及结构紧凑等优势，可应用于装配、虚拟轴机床、飞行模拟器和医用机器人等领域，但并联机构也存在工作空间小、耦合性强、轨迹规划和控制复杂等缺点。随着对并联机构构型研究的深入和工程实际应用的需要，具有高性能的并联机构的设计越来越受到重视。近年来，在并联机构的支链结构中引入闭合回路，或者以闭合回路为基础进行并联机构的设计，已成为提升并联机构性能的有效手段之一[1-11]。

目前，在支链中引入闭合回路的研究主要包括：①引入单自由度平行四边形回路，增加机构的刚度和承载力。如Delta机构[1]、H4[2]、I4[3]、Par4[4]、X4[5]等并联机构，每条支链中都含有一个平行四边形铰链；刘辛军[6]提出一种含3个平行四边形回路的6自由度并联机构，研究表明机构的刚度和灵巧度有明显提高。②引入多自由度的闭合回路形成冗余驱动，提升机构的刚度性能和承载性能。文献[7-10]提出了将2自由度的平面五杆闭环结构引入支链构成冗余机构，该方法与直接引入冗余支链作用于动平台相比，不仅具有更好的结构紧凑性和力学性能，而且增加了线速度和角速度的灵巧性[10]。③利用闭合回路的变尺度特性、奇异特性构成可重构机构。YE等[11]根据闭合回路驱动单元特性综合出一类可适时切换不同操作模式的可重构并联机构。

在理论研究方面，沈惠平等[12]提出了一种基于混合单开链的弱耦合并联机器人机构的设计方法；陈宇航等[13]基于广义螺旋推导出含子闭环并联机构的一阶、二阶影响系数的通用计算公式，并对所提出的含PRRR子闭环的6自由度并联机构进行了验证；杨静远等[14]对含球面四杆闭环的球面并联机构进行型综合；贺利乐等[15]研究了基于5R和RPRPR闭环结构的并联机构型综合，得出9种空间并联机构。

不难发现，现有含闭合回路的并联机构中，平行四边形4R是最常见的闭合回路。机构构型综合的研究，大多数基于支链数等于机构自由度数目的设定，在此基础上进行简单支链(记为SOC)的设计，再通过运动副等效替换法设计含闭环结构的复杂支链(记为HSOC)，使得现有的并联机构，特别是含闭合回路的4～6自由度机构，支链多、容易干涉，工作空间小，特别是转动能力弱；同时，由于支链间耦合性强，机构的运动学正解难、受力复杂、可控性差，制约着机构的实际应用。

实际上，多自由度闭合回路的自由度数目大于等于2，当作为多驱动单元构成并联机构的支链时，可以减少组成并联机构的支链数目，使得动平台上的运动副数目减少，降低支链与平台间的干涉，使得机构工作空间增加；另一方面，多自由度闭合回路自身的耦合度较低(如平面五杆回路耦合度为0)，且随着机构支链数目的减少，支链之间耦合程度也会降低,有利于改善机构运动学、动力学性能[16-17]。

综上，含多驱动回路单元的并联机构具有较好的应用前景，需要对这类机构的拓扑结构设计、运动学及其动力学问题进行系统、深入的研究。但现有大部分学者的研究对象是针对个别支链含回路的并联机构，目前为止支链含回路的并联机构的数量有限，特别是4～6自由度并联机构构型；而针对支链含多驱动回路的并联机构型综合与分析一般方法的研究则更少。

本文根据基于方位特征(Position and orientation characteristic, POC)方程的并联机构设计理论与方法(简称POC方法)[18-19]，以含多驱动回路的3T1R并联机构型综合为例，提出其构型综合的一般方法；基于所提出的综合方法，综合出含多驱动回路的3T1R、3T2R和3T3R新型并联机构，分析新机构的拓扑结构特征。

1 基于POC方程的并联机构拓扑结构设计方法

基于POC方程的并联机构拓扑结构设计方法详见文献[18]，为节约篇幅，这里仅给出部分内容。

1.1 串联机构POC方程

串联机构末端构件的POC方程为

(1)

式中Ms——串联机构末端构件的POC

MJi——第i个运动副的POC

k——子SOC数目

m——串联机构运动副数

Msub-socj——第j个闭合回路的POC

1.2 并联机构POC方程

并联机构由动平台、定平台和两者之间的n条支链(SOC)组成，则并联机构动平台的POC方程为各支链末端构件POC之交集，即

(2)

式中Mpa——并联机构动平台的POC

Msj——串联机构末端构件的POC

由式(2)可知，动平台POC集是其组成支链POC的子集，即

Msj⊇Mpa(j=1,2,…,n)

(3)

1.3 并联机构自由度

并联机构全周自由度计算式为

(4)

(5)

式中F——机构自由度

fi——第i个运动副的自由度

ν——机构独立回路数

Msi——第i条支链末端构件的POC集

1.4 并联机构耦合度κ

由基于序单开链(Single open chain, SOC)的机构组成原理[18]可知，任一机构可分解为约束度为正、零、负的3种有序单开链(SOC)，第j个SOCj的约束度定义为

(6)

式中mj——第j个SOC的运动副数

Ij——第j个SOC的驱动副数

进一步，一组有序的ν个SOC可组成一个零自由度的独立回路数为ν的基本运动链(Basic kinematics chain, BKC)，对一个BKC而言，须满足

(7)

因此，BKC耦合度为

(8)

2 多驱动闭合回路及其拓扑结构特征

广义地讲，能产生期望POC的回路结构(并联或串并联，包括某些自由度F为1～5的并联机构本身)，再串联若干运动副，皆可作为并联机构的支链。为使机构结构简单，本文仅考虑单回路的双驱动闭合回路。另，考虑到六杆及以上闭合回路机构的杆件较多，若将其作为驱动单元会使机构整体刚度降低、运动学求解困难。因此，本文以五杆回路机构作为驱动单元进行并联机构的构型综合。同时，驱动元件布局在定平台或靠近定平台，且移动副为主驱动关节。

图1给出了7种双驱动五杆回路。根据回路末端输出自由度的属性可分为2类：

根据式(6)可得回路约束度为

因此，该回路机构耦合度为

κ(3S2P)=Δ(3S2P)=0

同样的方法，可计算得到其余6种平面五杆回路机构的耦合度为

因此，本文所提7种双驱动五杆回路机构的耦合度均为0，是运动学和动力学分析可独立求解的最小单元。

3 含双驱动五杆回路支链综合

含多驱动回路的支链，是在多驱动回路的输出运动副或输出构件上串联一开链结构(由一个或多个构件与运动副串接而成)，记为HSOC，结构如图2所示。因此，含多驱动回路的支链的综合，首先选择回路结构，使其输出运动副或输出构件产生一部分运动输出元素(少于或等于支链期望POC)，然后再构造剩余的开链结构。

以3T2R支链为例说明含五杆回路支链的设计步骤。

步骤1：列出需设计支链的POC集，即

(9)

步骤2：构造支链的回路部分。分别选取图1中两类回路机构，可产生Mb中的一部分移动量及转动量，分别记为

步骤3：构造剩余的开链结构。根据式(9)中的Mb，在步骤2构造的回路结构的输出构件上，构造由3个转动副(如图3a中R6、R7、R8)，或2个转动副(如图3b的R6、R7)组成的开链结构，使之能补齐Mb中尚未实现的其余移动输出及转动输出，从而完成支链整个结构的构造。当然，图3a中的平面五杆机构可以由图1b～1f所示的5种平面五杆回路替换。

采用同样的方法，可构造出含双驱动回路的3T3R支链，如图4所示。同样，图4a中的平面五杆回路可以由图1b～1f的5种回路替换。表1列出了图3和图4所示复杂支链(HSOC)的拓扑组成，同时给出了常见的不含回路的简单支链(SOC)，以便后续型综合时直接引用。

表1 支链结构Tab.1 Structure of chains

步骤4：支链扩展。在开链POC集不变的条件下，借助运动副合并生成多自由度的运动副，以及改变运动副轴线之间的几何关系等，可扩展支链的结构类型。例如，图3a支链中正交的R6、R7转动副可用U副替换；图4a支链中R6、S7位置对调，或者采用两个U副替换，可分别生成图4c、4d所示支链。

4 含双驱动回路并联机构设计

4.1 3T1R并联机构设计

依据基于POC方程的并联机构拓扑结构设计方法[18]，本节给出含双驱动回路的3T1R并联机构型综合过程。

设计要求为：设计4自由度3T1R并联机构，且至少有1条支链含双驱动回路。

步骤3：支链的结构综合。表1给出了含回路和不含回路的典型支链，为便于区分，分别用HSOC和SOC表示。

步骤4：确定HSOC和SOC支链组合方案。表2给出了机构自由度F、支链总数目n以及含回路支链数目nHSOC与不含回路支链数目nSOC之间的配置关系。

表2 机构F、n、nHSOC、nSOC之间的关系

根据表2配置方案，3T1R并联机构的支链数目n可取2或3。当n=2时，nHSOC=2且nSOC=0，组成机构的两支链均为复杂支链；当n=3时，nHSOC=1且nSOC=2，组成机构的支链既有复杂支链，也有简单支链。

对表1列出的6种HSOC及5种SOC进行组合，可以生成满足预定POC集与自由度要求的3T1R并联机构。考虑结构及对称性，本文给出3种3支链和2种2支链的组合方案，机构支链组成如表3所示。

步骤5：支链装配条件的确定。根据式(2)，为实现动平台输出为3T1R，各条支链POC集交运算后需约束掉其余两个方向的转动元素。以表3中序号1的支链组合方案为例，确定支链在两平台装配的几何条件。

(1) 已知机构由1条HSOC支链和2条SOC支链构成

1-HSOC：{-(P(3R2P ),P(3R2P))⊥R17‖R18-}

2-SOC：{-Pi1‖Ri2‖Ri3⊥Ri4‖Ri5-} (i=2,3)

表3 3T1R机构的支链组合方案Tab.3 Combination of 3T1R parallel mechanisms

(2)在动平台上任意选取点O′为基点。

(3)确定支链的POC集。

(4)建立并联机构的POC集。将预定的机构动平台POC集和支链POC集，代入式(2)，得到

式中，⟸表示上式左端是所有支链POC集“交”运算的预定目标。

当R16‖R23且R18‖R25时，动平台只存在绕R18轴线方向的转动和三维移动。按此装配几何条件得到的并联机构，如图5a所示。

类似地，对表3的其他几种支链组合方案，仿照以上步骤，可得到其余3T1R并联机构，其结构简图分别如图5b～5d所示。

步骤6：选定机构驱动副。

对于自由度为F的机构，在判定其驱动副时，可将预定的F个运动副锁死，此时得到的新机构的自由度若为0，则该F个运动副可同时作为机构的驱动副，否则，该F个运动副不能同时作为机构的驱动副[18]。

以图5a为例，判定该机构定平台上的4个P副是否可为驱动副。

将定平台4个P副(P11、P15、P21、P31)锁死，得到新的并联机构，其第1条支链自由度为3，拓扑组成为HSOC{-(R16⊥R17‖R18)-}；第2、3条支链为{-Ri2‖Ri3-Ri4‖Ri5-}(i=2,3)，自由度为4。

新机构3条支链的POC集分别为

确定第1个独立回路的独立位移方程数为

由第1、2支链构成的子并联机构自由度为

且子并联机构动平台的POC集为

计算第2个独立回路的独立位移方程数为

机构自由度为

由于新机构自由度为0，则定平台上4个P副可同时作为驱动副。

类似地，可用同样方法判定图5所示其余4种并联机构的驱动副。结果表明，图5b、5d、5e所示机构的移动副均可作为主驱动；图5c基座上R21、R31以及移动副P12和P14可作为机构的驱动副。

4.2 3T2R并联机构设计

3T2R并联机构动平台期望的自由度F=5和POC集Mp=[t3r2]T。由式(3)可知，其支链的运动输出可取[t3r2]T和[t3r3]T。

根据表2中5自由度并联机构的HSOC和SOC配置方案，含双驱动回路的3T2R并联机构可分为两大类：①支链数目为4，其中nHSOC=1 且nSOC=3。②支链数目为3，其中nHSOC=2 且nSOC=1。表4为2种4支链和4种3支链的组合方案，结构简图如图6所示。

表4 3T2R机构的支链组合方案Tab.4 Combination of 3T2R parallel mechanisms

4.3 3T3R并联机构设计

3T3R并联机构动平台期望的自由度F=6且POC集Mp=[t3r3]T，机构所有支链的运动输出均为[t3r3]T。

根据表2列出的6自由度并联机构支链的配置方案，含双驱动回路的3T3R并联机构有3类：①支链数目n=5，其中nHSOC=1 且nSOC=4。② 支链数目n=4，nHSOC=2 且nSOC=2。③ 支链数目n=3，nHSOC=3 且nSOC=0。本文只考虑支链数目为4和3的两类构型，表5为2种4支链和2种3支链组合方案，图7为其结构简图。

5 机构拓扑结构特征分析

根据文献[18]提出的拓扑结构特征计算方法，对图5～7中的5种3T1R、6种3T2R和4种3T3R并联机构进行拓扑结构特征分析，得到过约束数Nov、耦合度κ等，结果如表6～8所示。

表5 3T3R机构的支链组合方案Tab.5 Combination of 3T3R parallel mechanisms

由表6～8可知，综合出的新机构结构紧凑，具有适度的非对称性；15种机型中，耦合度为2的机构仅3种(图5c、6a、6b机构)，其余机构的耦合度均为0或1。由文献[20-21]可知，典型的6支链6自由度Stewart并联机构的耦合度为3，机构输入-输出运动耦合性强、运动学正解求解复杂；文献[22-25]通过结构降耦得到了多种低耦合度的6自由度机构，但大多含有二重球副或三重球副，加工制造困难。而本文综合的4支链和3支链6-DOF并联机构的耦合度均为1，驱动回路部分的耦合度为0，且不含被动移动副和复合球副，加工制造容易实现；进一步的运动学分析表明，机构存在运动学正逆解的解析解，易于实时控制。

表6 3T1R并联机构的拓扑结构特征Tab.6 Topology characteristics of 3T1R PMs

表7 3T2R并联机构的拓扑结构特征Tab.7 Topology characteristics of 3T2R PMs

表8 3T3R并联机构的拓扑结构特征Tab.8 Topology characteristics of 3T3R PMs

6 结论

(1)分析了7种五杆回路的拓扑组成、等效输出及其耦合度，并提出了多种含双驱动五杆回路的复杂支链。

(2)根据基于POC方程的拓扑结构设计方法，综合出含双驱动五杆回路的5种3T1R、6种3T2R和4种3T3R并联机构构型，机构结构紧凑，驱动安装在基座上，带负载能力强；动平台上运动副数目较少，支链间的干涉降低，工作空间增加；大多数机构具有较好的对称性，有利于载荷均匀分布。

(3)进一步对综合出的15种机构进行拓扑结构特征分析，结果表明大多数新机型具有过约束，且具有较低的耦合度，有利于改善机构的运动学、静刚度及动力学性能，具有较好的应用前景。