三类常见不等式及其解法探析

王玉生

不等式的应用范围十分广泛，在解答求函数的定义域、求最值、求参数的取值范围等问题时，常需通过解不等式来获得问题的答案.因此，熟悉并掌握几类常见不等式及其解法是很有必要的.下面主要谈一谈三类不等式及其解法，希望能为同学们解不等式提供帮助.

一、a∙x>（<） b 型

解a·x>b的一元一次不等式，一般要先根据实际常数 a 的取值，分为三种情况：大于0、小于0、等于0进行讨论.当 a >0时， ;当 a <0时， ;当 a =0且 b <0时，x ∈ R ;当 a =0且 b ≥0时，不等式的解集为∅.若遇到a∙x< b 型的不等式，当 a ≠0时，只需改变不等式的符号即可，当 a =0且 b >0时，x ∈ R ;当 a =0且 b ≤0时，不等式的解集为∅.

例1.解不等式-8x -6≥4（2- x）+3.

分析：该不等式为一元一次不等式，较为简单，只需将不等式化简为a∙x> b 的形式，然后分析 a 的符号，便可求出问题的答案.

解：先去掉括号得-8x -6≥8-4x +3，再通过移項和合并同类项可得-4x ≥17，解得 .

二、ax2+ bx + c >（<）0型

当遇到形如 的一元二次不等式时，一般要先令这个不等式左边的式子为0，即 ，然后运用求根公式求出方程的两个根 ，再按照 a 的取值分 a >0和 a <0两种情况进行讨论.若 a >0且△>0，则 ax 2+ bx + c >0的解集为 或 的解集为 ;若a >0且△=0，则 的解集为 ， 的解集为∅;若 a >0且△<0，则  的解集为R， 的解集为∅ .当 a <0时，只需将在不等式的左右同乘以-1，改变不等式的符号即可.

例2.若不等式 的解集是 ，且 ，求不等式 的解集.

分析：题目中的两个不等式均是一元二次不等式，可先用韦达定理建立 a、b、c 与α、β之间的关系，求得 b、c 的表达式，然后将不等式 转化成为只含有α、β的不等式，解这个不等式便可求得不等式的解集.

解：由韦达定理可得 ，

三、 型

对于形如 的分式不等式，我们首先要将不等式转化为常规的不等式，即   若变形后的不等式为一元二次不等式，可按照 型不等式的解法进行求解;若变形后的不等式为三次或三次以上的不等式，就需将不等式左边的式子进行因式分解，运用“穿针引线法”来求不等式的解集.

例3.解不等式

分析：这是一个分式不等式，我们需先将不等式变形为一个一元二次不等式，然后求出一元二次方程的两个根.又因为系数 a =2>0，因此它的解集为 x < x1或 x > x2.解：由 x +1 x <3可得 x +1-3x x <0，则 x（2x -1）>0，令 x（2x -1）=0，则 x =0或 x =12，又因为系数 a =2>0，因此它的解集为 或者 .

在解分式不等式时，去分母是解题的关键，不必要时不可用去分母的方法求解.

不等式最高次项的系数对不等式的解集影响较大，因此在解不等式时，一定要先对最高次项的系数进行分类讨论，或确定最高次项的系数的正负，然后将不等式变形为一次、二次方程，求得方程的根，再来确定不等式的解集.必要时可以画出对应的一次函数、二次函数的图象，借助图象来分析不等式的解集.

（作者单位：甘肃省徽县第一中学）