《九章算术》中的代数部分

钱宝琮

《九章算术》是一部现有传本中最古老的中国数学经典著作.书中收集了二百四十六个应用问题和各个问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章.现在拟就问题的性质分成算术、几何、代数三类，介绍全书的主要内容.下面主要介绍《九章算术》中的代数部分，列出开平方与开立方、开带从平方、方程与正负数三个部分.

一、开平方与开立方

《九章算术》的少广章中提到了开平方法和开立方法，内容简明，依照两种方法进行演算也很方便.开平方法借用一根算筹来表示未知量的平方，开立方法借用一根算筹表示未知量的立方，这样就建立了筹式和代数方程之间的联系.开平方或开立方的各个演算步骤相当于解方程中求正根的过程.中国古代开平方、开立方的方法，不仅具有算术上的意义，更重要的是它们具有代数方面的意义.

少广章中的开方术说：“置积为实.借一算，步之，超一等.议所得，以一乘所借一算为法而以除.除已，倍法为定法.其复除，折法而下.复置借算步之如初.以复议一乘之，所得副，以加定法以除.以所得副从定法.复除，折下如前.”

例如，少广章中的第12题：一平方积为55225，求方边的长.布置算筹 ，这叫做“实”（被开方数）.取一算筹放在“实”的个位下边，如图1，这个筹式用代数符号表达出来是一个方程 .将这个“借算”向左移动，每一步移两位，移两步，便停在“实”的万位上，如图2.这样，“借算”所表示的数不是……