ex放在分母上是一种解题思维

河南省武陟县第一中学(454950) 张六军

近期,笔者所在学校进行了一次考前练习,压轴题是一道非常通俗的导数题,没想到学生得分情况却大跌眼镜,与预想的相差甚远,即便尖子生做的也惨不忍睹,下面是这个题的整个解析思路和思维方法.

1 就题论题 总结经验

题目1已知函数f(x)=xlnx-ax+1.

(1)求f(x)的最小值;

(2)证明: 对任意的x ∈(0,+∞),ex(lnx+)-(ex+x)+＞0 恒成立.

分 析(1)f′(x) = 1 + lnx - a, 令f′(x) = 0 得x= ea-1, 当0＜ x ＜ea-1时,f′(x)＜0,f(x) 单调递减; 当x ＞ea-1时,f′(x)＞0,f(x) 单调递增, 所以f(x)min=f(ea-1)=1-ea-1.

第一问求解大部分学生都能得到有效分,关键是在第二问上. 下面是某些学生第二问的解题共同历程——为图简单,先甩一项.

ex(lnx+＞0 整理得ex(lnx+＞0,因x ＞0,即ex(xlnx-x+1)-x2+4ex-2＞0,发现xlnx-x+1 与(1)中xlnx-ax+1可以类比, 于是在(1) 中, 令a= 1 得f(x)min=f(1) = 0,ex(xlnx-x+1)＞x2-4ex-2,这样该式左边最小值为0,只要右边最大值小于0 即可,为方便计算没有把ex往右边分母上放,相当于直接甩掉了,可不知为后面计算失败埋下了伏笔.

设φ(x)=x2-4ex-2,只需证明φ(x)＜0 即可.φ′(x)=2x-4ex-2, 再设u(x) =φ′(x) = 2x-4ex-2, 则u′(x) =2-4ex-2,令u′(x)=0,得x=2-ln 2,x ∈(0,2-ln 2)时,u′(x)＞0,u(x)单调递增;x ∈(2-ln 2,+∞)时,u′(x)＜0,u(x)单调递减.u(x)max=u(2-ln 2) = 2(1-ln 2)＞0,这已经是两次求导了,即便两次求导后也不能判断φ′(x)正负的区间,这种方法再往下走已经没有意义了并且也走不下去了.

ex放在分母上,根据求导法则以及ex求导后还是自身这一特点,可以将计算过程进行必要的化简,这需要在一定的解题经验上才能总结出来,对于本题,证明ex(xlnx-x+1)-x2+4ex-2＞0,即证xlnx-x+1＞由(1)知a= 1 时f(x)min=f(1) = 0,因此xlnx-x+1 ≥0,(x= 1 时取等号) 只需要证明≤0 即可, 即证设g(x) =则g′(x) =,x ∈(0,2)时g′(x)＞0,g(x)单调递增,x ∈(2,+∞)时g′(x)＜0,g(x)单调递减, 所以在x ∈(0,+∞) 上g(x)max=g(2) =即由于两次取等号时对应的x不一样, 于是有xlnx-x+1＞把ex放到分母上这个思维,打开了整个题的思维之门和解题之路.

对于第一种解法,也可把ex放到分母上往下……