2021年全国新高考Ⅰ卷立体几何解答题的解法探究与备考建议

广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

立体几何解答题历年来是考生抢分的“必争之题”. 2021年全国新高考Ⅰ卷立体几何解答题,延续了近几年的命题风格,充分体现了对立体几何基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查. 试题注重基础,立足教材,难度适中,该题以三棱锥为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,注重考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等素养,体现在直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法上,着重考查点、线、面位置关系的判断与证明,以及空间角、体积的计算问题.

一、试题展示与评析

题目(2021年全国新高考Ⅰ卷第20 题) 如图1, 在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.

图1

(1)证明:OA⊥CD;

(2)若ΔOCD是边长为1 的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC -D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

试题分析此题以三棱锥为载体考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系, 二面角, 体积等基础知识. 其中,第(2)问表面上看,似乎是考查三棱锥的体积问题,实际上其考查重点为二面角问题. 只有通过条件“二面角E -BC -D的大小为45°”才能求得“三角形ABD的高OA的长度”,从而求解“三棱锥A-BCD的体积”. 此题可采用“空间向量”这一有力的工具进行求解: 先建立空间直角坐标系,假设“OA的长度为h”,从而得到所需要的点、向量的坐标,再求解两个半平面的法向量,并求两个法向量夹角的余弦值, 由于该……