初中数学外旋法解题技巧

钟剑华

图形的变换是新课标中“空间与图形”领域的一个主要内容，体现运动变换的理念与思想，是教材中的一大亮点。旋转，它是一种数学变换，经过旋转变换后的图形与原图形是全等的，因此可以借助旋转变换的方法帮助学生识别复杂图形中的全等图形，同时还可以利用旋转变换将分散的条件集中，培养学生的空间概念，提升他们的几何直观、推理能力，增强他们的创新意识。

图形的变换中，外旋转是常用变换，外旋转具有以下性质：一是对应点到旋转中心的距离相等，即边相等;二是应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即角相等;三是旋转前、后的图形全等。以这三个性质为突破口，巧用外旋法就能快速解决问题。

例1 如下图，在正△ABC中，DC=3，DB=4，DA=5，求∠CDB。

分析：正三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60o，可以将三角形BDC旋转60o，使BC旋转到AB。

解：正三角形ABC中，AB=BC，可以将三角形BDC旋转60o，得到三角形PBA。

连接PD，则PB=BD，∠PBD=60o，三角形PBD为正三角形，PD=BD=4，

∠BPD=60o，∵△PBA≌

△DBC，∠APB=∠BDC，

AP=CD=3，AD=5，满足PD2+PA2=AD2，

∠APD=90o，∠APB=∠BPD+∠DPA=90o+60o=150o，

∠BDC=∠APB=150o.

例2  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为三角形内一点，DC=2，DB=3，DA=1.求∠CDA。

分析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可将三角形ADC旋转90o，使AC到BC。

解：在Rt△ABC中，

∠ACB=90°，AC=BC，可将三角形ADC旋转90°，得到三角形BPC，∠DCP=90°，△DAC≌△PBC，

∴PC=DC=2，BP=AD=1，∠CDA=∠CPB.

∵△PCD是等腰直角三角形，

∵PD2=PC2+CD2=22+22=8，

∵BD=6，BD2=9，PD2=8，BP2=AD2=1，∴PD2+BP2=BD2，

∠DPB=90°，

∠CDA=∠CPB=∠CPD+∠DPB=90o+45o=135o.

例3 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，求OC的最小值。

解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC并延长交x轴于点F.

AB=AC

在△AEC中，△ADB中，     ∠BAD=∠CAE

AD=AE

∴△AEC≌△ADB（SAS）

∵∠AEC=∠ADB=120o，∵∠OEF=60o，∴OF=OA=4.

点C在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，则OC最小值为2.

【点评：构造三角形ABD旋转，使旋转后AB与AC重合，AD=AE且旋转角为60o，从而得到三角形ADE为等边三角形】

例4 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4  2，若BD⊥CD，垂足为点D，求对角线AC的长的最大值。

解：以BC为边作等边三角形BCE，过E点作EF⊥BC于点F，连接DE，∠ABD=∠CBE=60o，∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.

AB=BD

在△ABC和△DBE，    ∠ABC=∠DBE，

BC=BE

∴△ABC≌△DBE.

DE=AC，在等邊三角形BEC中，BC=4 2，EF⊥BC

BF=    BC=2  2，EF=  BE2-BF2=  BC2-BF2 （4  2）

以BC为直径坐圆F，D在圆F上，连接DF，

DF=    BC=2  2，则DE≤DF+EF=2  2+2  6 .

则AC≤2  2+2  6，即AC最大值为2  2+2  6 .

【点评：将三角形ABC旋转到DBE，E点位置使三角形BCE为等边三角形】

在新课改环境下，初中数学教学中利用图形旋转可以改善传统的教学模式，优化解题过程，能进一步提高学生解题能力。