卡尔曼滤波算法在空管二次雷达及ADS-B系统中的应用研究
——以呼伦贝尔地区为例

李 剑

(中国民用航空呼伦贝尔空中交通管理站 内蒙古 海拉尔 021008)

卡尔曼滤波算法是一种递归计算方法，最初是通过最优估计的方法，来获得离散数据的线性滤波，随着计算机技术的提升，其应用渗透多个领域。在航空方面，卡尔曼滤波算法由于功能强大，不止能够估计信号之前及当前状态，甚至可以据此估计信号的未来状态。当前民航系统使用的空管二次雷达及ADS-B等定位设备，ATC终端使用的自动化设备等，也均使用卡尔曼滤波算法解决目标的航迹定位问题。

1 卡尔曼滤波算法形式

1.1 标准形式

卡尔曼滤波算法的核心思想是提供一种算法，通过对目标状态的估计来使过程的均方误差达到最小，在估计状态时，使用的测量数据也受到干扰噪声影响下进行。[1]在做推导时，随机信号的目标状态方程使用x(n)表示；而测量数据k(n)跟随目标也为线性状态，其中观测噪声服从零均值分布，则卡尔曼滤波算法的模型方程为：

(1)

式中，w(n)和v(n)为目标及测量白噪声,a和c为常数，模值均小于1。

(2)

以上即卡尔曼滤波算法的标准形式，它把目标的状态描述为一个离散的随机过程，该过程中系统状态及其测量均不可避免受噪声影响。卡尔曼滤波算法实际是维纳滤波的一种特殊表现形式。雷达跟踪观测所使用的滤波算法为一种矢量算法，以下介绍其推导过程。

1.2 卡尔曼滤波算法矢量方程

可以考虑两种情况，一种是根据观测数据同时推算估计若干个类似信号，例如q个信号x1,x2…,xq；另一种是得到一个高阶自回归过程,如一个q阶的自回归过程：

(3)

以上两种情况下，如果引入矢量卡尔曼滤波算法，分析计算可以变得更加便捷。

以上情况中q个一阶自回归信号，我们设其为同时相互独立的，则在n时刻，其取样分别为x1,x2…，xq,它们的状态方程表示为：

xi(n)=aixi(n-1)+wi(n),i=1,2,3…,q

(4)

同标量卡尔曼相似，使用wi(n)表示零均值白噪声序列，它们相互之间相关。q个信号xi(n)使用矩阵表示为q维矢量x(n)=[x1(n)x2(n)…xq(n)]T，则我们可以将以上信号状态方程简化为以下矢量方程：

x(n)=Ax(n-1)+w(n)

(5)

分量w(n)是由wi(n)第q维构成的矢量，A是一个q阶对角矩阵，分量为ai。

同理在n时刻测得k个数据k1(n),k2(n),…,kk(n)，它们与xi(n)的关系为：

ki(n)=aixi(n-1)+vi(n),i=1,2,3…,k

(6)

其中,k≤q,测量噪声使用vi(n)表示。根据定义数据矢量和噪声矢量分别为以下等式：

k(n)=[k1(n)k2(n)…kk(n)]T和v(n)=

[v1(n)v2(n)…vk(n)]T

(7)

则K个测量方程的矢量方程简化为：

k(n)=Cx(n)+w(n)

(8)

系数矩阵C是一个K×q矩阵。

已知以上标量卡尔曼滤波算法器递推公式，同理可推导出矢量卡尔曼滤波算法器的相应公式为：

(9)

最小预测均方误差：p(n)=A(n)ξ(n-1)AT(n)+Q(n)

(10)

(11)

(12)

2 雷达及ADS-B跟踪中的的卡尔曼滤波算法器

2.1 雷达跟踪

二次雷达系统是民航对飞行目标监视使用最广泛的设备，是通过地面询问机对目标进行询问，目标在收到询问信号并对其进行应答来实现对目标定位的一种设备。一般对目标的定位采用极坐标的形式，即可用径向距离及方位角表示目标的实际位置。

在跟踪系统中，一般利用询问与应答的时间延迟去计算目标斜距，并近似作为飞机径向距离，而目标的方位角是在天线波束扫描到目标时雷达系统码盘刻度。二次雷达天线转动周期一般设置为4S，我们用表示其转动周期，同时这也是二次雷达位置更新的时间间隔。

(13)

(14)

这在滤波算法中便等效于零均值白噪声即：

(15)

(16)

得出以下矢量矩阵公式：

x(n+1)=Ax(n)+w(n)

(17)

在雷达天线半波束辐射范围内，目标的方位角由天线码盘及单脉冲信息获得，而其距离则借助光在空间匀速直线传播得出(此时忽略目标高度)。目标离开雷达天线波束后，雷达输出点迹信息，此过程中将测量结果k1(n)和k2(n)写成矢量矩阵形式：

k(n)=Cx(n)+v(n)

(18)

矢量w(n)和v(n)各自的方差为自相关矩阵Q(n)和R(n)：

(19)

(20)

2.2 初始值确定及影响滤波算法的因素

在跟踪算法中，卡尔曼滤波算法器需要得到增益矩阵Gn的初值。为此，在点迹或航迹形成之初，需确定均方误差ξ(n)的初始值。一般点迹或航迹的初始化n=3时形成，及利用前两次n=1和n=2测量得到的距离及方位角参数，得到四个数据k1(2),k2(1),k1(2),k2(2),并对四个数据k作以下估计：

(21)

代入以上测量方程得：

(22)

(23)

将状态方程代入得：

(24)

综合以上一系列公式，可得：

(25)

对均方误差做出以下计算：(2.14)

(26)

即可确定均方误差ξ(n)的初始值为：

(27)

由于海拉尔二次雷达建设受周边建筑影响，雷达站周边环境急剧恶化，近距离镜像及假目标出现频繁，反射使得在对初值、测距及测角均方差值赋值时偏离实际较大，我们知道,镜像的出现是存在较为固定的反射体,这时假目标形成的滤波航迹较为稳定,雷达本身很难识别,技术人员对功率可编程、STC曲线进行了调节，降低了近距离物体反射的影响，情况得以好转，但依旧不能解决零散假目标形成的点航迹问题。

对于镜像，可以使用抗反射的方法处理，但由于附近居民楼影响，零散杂波较为普遍，就需要别的措施解决雷达滤波的方差赋值影响，SELEX二次雷达在航迹跟踪门限设置中，提供了航迹速度初始值及跟踪维护的门限设置，根据日常目标在高空巡航及中低空进近的常规速度，我们对以上参数做出门限设置，杂波假目标的状况得到明显改善。

图1 二次雷达航迹滤波初始值及跟踪维护门限设置

2.3 卡尔曼滤波算法器在ADS-B中的应用

广播式自动相关(ADS-B)的基本原理是飞机(航空器)通过空地、空空数据链，采用周期无方向性广播方式，自动发送和接收记载设备所提取的监控信息。[2]ADS-B数据更新率及准确率均优于二次雷达。近年来，海拉尔处于支线机场航空运输快速增长,通航机场不断增多的现状，中低空空域机构日渐复杂，需要大量的监视源设备填补管制监控盲区。目前，中国民航正在全力推行民航客机二次雷达应答机加装ADS-B应答功能，而且ADS-B建站成本低廉，可很好提升海拉尔管制区监视冗余备份能力。

与雷达跟踪类似，根据上述推算，ADS-B的卡尔曼增益方程可以表示为[3]：

Gk=P(k)HT(k)[H(k)P(k)·HT(k)+R(k)]-1

(28)

航空目标的状态方程即为：

(29)

对应的协方差更新公式为：

ξ(k)=[I-H(k)GK]p(k)

(30)

其中HT(k)为航空目标的观测矩阵。

不同于二次雷达，ADS-B应用中需要跟踪的目标状态变量表示为T=(x,vx,y,vy,w,z)；分别代表目标在X和Y方向的距离、速度值、转弯速率及高度，其中表示实时估计值；模型建立后，使用同一目标不同周期的位置信息，来确定目标目前状态、预计状态以及相应的协方差矩阵。

2.4 空管自动化中的滤波算法应用

呼伦贝尔ATC系统目前使用民航二所的AirNet自动化系统，接入数据将不同监视源的同一目标的数据进行融合，系统将各监视源的航迹融合成系统综合航迹。并对每个周期的综合航迹跟踪滤波，使处理后的系统航迹更加接近真实航迹。其跟踪使用IMM算法(InteractingMultipleModel，交互式多模型算法)。将目标在水平面内的运动分三个分量。

IMM算法的核心思想是同时维护三个滤波[4]，两个标准CT模型和一个CV模型，分别对应左转弯、右转弯及直线运动，运算流程如图2所示，Filter0,Filter1,Filter2分别代表三种不同的运动模型，每个模型单独滤波，初始值赋值后，所有状态值的更新依赖于上次滤波运算结果，不断更新概率模型，同时将更新作为下一次估计的初始输入，从而实现对目标状态的持续跟踪。

图2 IMM基本流程图

监视源权重取值与监视源目标信息可靠性相关。目前二次雷达仍然为区域管制的主要监视手段，但ADS-B数据处理中心汇接了多个地面站信息，在中低空覆盖方面与二次雷达形成显著优势，且数据更新率快，精度质量高，有利于目标的平滑处理。根据实际情况，AirNet自动化系统对雷达及ADS-B静态权重进行了以下分配：

图3 AirNet自动化系统监视源权重分配情况

目前海拉尔管制区内新建多台ADS-B地面站，地面站数据经数据处理中心汇总后送入自动化系统，考虑数据完整性，自动化系统接收所有NUCP取值范围内的数据进行数据融合，初期出现了较多假目标，经分析及确认，先后有GPS干扰、RAIM失效(NUCP取值低)、与雷达信号目标分裂等情况，影响滤波算法准确性。由于GNSS不确定因素会造成NUCP值对应的位置精度及完好性与实际情况不符[5],经与厂家沟通，增加了对ADS-B数据质量验证的设置选项，改善了航迹滤波效果。

3 自适应卡尔曼滤波算法器的应用

实际中，滤波器的性能在一定条件下会受到Q(n)和R(n)阵的取值影响。无论单雷达航迹跟踪、静态融合或IMM算法，Q(n)取值变化与状态滤波估计值依赖外推预测值的权重呈反比状态；对于R(n)，滤波器在性能上主要跟随观测方程权重亦呈反比状态。在大多数目标跟踪中，目标状态呈现多种变化趋势，观测值也受设备性能及现场环境影响产生较多变数，Q(n)和R(n)的取值应该呈现动态变化的趋势。

实际上，像自动化系统中对多监视源的数据进行静态及动态权重的分配，也可看作自适应卡尔曼滤波算法的一种表现形式，即便是扩展卡尔曼滤波算法的应用，也是在将非线性目标通过泰勒级数展开、样本点获取权重、平方根取样等手段，达到目标跟踪滤波算法线性化的效果。另外一种优化方法，是同时建立多个卡尔曼滤波算法模型，对应多个系统噪声协方差阵Q(n)和观测噪声协方差阵R(n)，在建立初始值及推算过程中，最能贴合目标实际状态的滤波权值逐渐变大，最终接近或达到1，其它滤波模型逐渐弱化。这种滤波模型始终处于动态推算过程，并按照目标的运动规律周期性改善Q(n)及R(n)，以使状态及测量方程能动态反映目标的实际状态，第i个卡尔曼滤波算法器被分配的概率为：

(31)

(32)

这种算法称做多模型自适应估计(MultipleModelAdaptiveEstimation,MMAE)。其局限性是计算量较大，但Q(n)和R(n)在滤波器组中并行运算、相互独立，因此较传统滤波器更趋于稳定,在雷达跟踪中，鉴于目标机动飞行或完成特殊动作等情景下，更能反映运动轨迹多样化的实际情况。

4 总结

面对监视源信息的多种不确定性，自适应滤波算法是未来发展的趋势。自动化系统中的MME算法也可看作多模自适应应用的个例。ADS-B数据中心往往需要处理多个地面站信息，在航迹信息被多个地面站接收时，可以将此滤波算法作为研究方向，此方法具有收敛速度快、滤波精度高，可以提高跟踪系统的精度和可靠性，得到的系统航迹同时可送至各运输及通航机场中小显示设备，以提高其空管运行效率。