动能定理是否有单方向的“分解式”

孙永茂

(赣州市第三中学 江西 赣州 341000)

1 问题引出

中学阶段有三大观点可以解决力与运动的相关问题，分别是力的观点、动量观点和能量观点，对于牛顿运动定律、动量定理和动量守恒定律，都可以分方向进行运用.对于动能定理，表述的是功与能的关系，功和能都是标量，可以分方向运用动能定理吗？也就是说，动能定理是否有单方向的“分解式”？我们从一道力学题入手进行分析.

【例1】如图1所示，一质量为m,电荷量为q的正电粒子在匀强电场中运动，A和B为其运动轨迹上的两点.已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°,它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力，求A，B两点间的电势差.

图1 例1题图

在教学过程中，发现学生有以下两种解法.

解法1：带电粒子只受电场力，粒子沿电场方向做匀加速直线运动，垂直电场方向做匀速直线运动，有

vBsin 30°=v0sin 60°

(1)

粒子从A到B点，由动能定理

(2)

联立式(1)、(2)得

解法2：带电粒子只受电场力，所以粒子速度的改变是由电场力决定的，电场力仅改变粒子沿电场方向的速度大小，在沿电场方向使用动能定理

(3)

物体在垂直电场方向做匀速直线运动，有

vBsin 30°=v0sin 60°

(4)

联立式(3)、(4)得

【分析】对比两种解法，计算结果相同，对于解法1，教师和学生都非常认同.但对于解法2，咨询多位教学经验丰富的物理老师，发现此解法存在非常大的争议，教师之间存在两种不同的观点：

观点1：解法2错误，因为动能定理是标量式，不能进行矢量分解，故不可以单方向运用动能定理，解法2的计算结果与解法1相同只是计算的巧合，不能当做规律进行推广.

观点2：解法2正确，动能定理是标量式是毋庸置疑的，但标量也可以分解，如总功就可以分解为各个力做功之代数和.同理，对于动能的总变化量可以为各方向的动能变化量的代数和[1,2].本题中，在沿电场方向和垂直电场方向建立直角坐标系，再分别求解各方向的动能的变化量，则有

F合s=ΔEkx+ΔEky

又因物体仅受水平方向的电场力，则ΔEky=0，所以有F合s=ΔEkx，即解法2是正确的.

以上两种观点哪个是正确的？此带电粒子的合力为水平方向，即解法2在水平方向使用了动能定理，而持观点1 的教师不认同此解法.两种观点的争论点围绕于是否存在单方向的动能定理“分解式”.接下来进行理论分析，论证是否存在动能定理的单方向“分解式”.

2 理论分析

动能的大小和速度有关，而速度是矢量，故建立三维直角坐标系O-xyz，如图2所示，各方向的单位分矢量为i,j和k，合力为F，位移为s，初速度为v1，末速度为v2，由矢量的标积，可以计算以下物理量.

图2 三维直角坐标系

合力做的功为

W=F·s=

(Fxi+Fyj+Fzk)·(sxi+syj+szk)=

Fxi·sxi+Fxi·syj+Fxi·szk+Fyj·

sxi+Fyj·syj+Fyj·szk+Fzk·

sxi+Fzk·syj+Fzk·szk=

Fxsx+Fysy+Fzsz

动能的变化量

由动能定理：W=ΔEk，即

据力和运动的独立性，在x方向上

得

即ΔWx=ΔEkx

在y和z方向，同理可得

即

ΔWy=ΔEkyΔWz=ΔEkz；

将3方向关系式累加也可得

Fxsx+Fysy+Fzsz=

3 适用条件

通过理论分析，证明了动能定理存在类似于“分量形式”的单方向“分解式”，那此规律存在条件吗?我们以一道例题入手进行分析.

【例2】质量为m的物体静止于地面上，现有两个大小相等且互成60°的力F同时作用于物体，经时间t后，物体的速度为v，求其中一个力做的功.

常规解法：物体做初速度为零的匀加速直线运动，由动能定理

(5)

两个力大小和沿力方向上的分位移大小相同(s1=s2)，如图3所示，故两力所做功相同，则每个力做的功

图3 位移分解

(6)

由式(5)和(6)得

错解：将v沿两分力方向分解为v1和v2，由图4所示，可知

图4 速度分解

由动能定理的“分解式”，一个力做的功为

分析:在错解中，似乎运用了动能定理单方向的“分解式”，但发现计算结果是错误的，说明动能定理单方向的“分解式”在运用的时候存在条件.到底是什么条件？不难发现，之前推导单方向的动能定理“分解式”是建立在直角坐标系的基础上的，如果不是直角坐标系下的分解，而是斜角坐标系下的分解，是否还有相同的结果？我们运用向量的相关知识进行分析.

情境创设:物体在合外力为恒力F的作用下以初速度v0开始做匀加速直线运动，经时间t后，位移为s，末速度为v.

分析:建立斜角坐标系xOy，如图5所示，其中x轴和y轴的夹角为θ，之后将力F和位移s和速度v0,v按平行四边形定则分解到x轴和y轴.

图5 力、位移和速度分解

对于总功，运用向量求解总功为

W=F·s=(F1+F2)·(x+y)=

F1·x+F1·y+F2·x+F2·y=

F1x+F1ycosθ+F2xcosθ+F2y

由此可见，“总功”和“分力的功”也不是简单的标量相加.

对于动能，与速度有关，速度又是矢量，先对速度进行矢量分解，再用向量求解，有

由此可见，“合动能”和类似于分解式的“分动能”并不是简单的标量相加，其运算规则更加的复杂.综上所述，功和动能的分解规则不是简单的标量合成，且两者的运算规则相同.

由动能定理

当时θ=90°时，有

此时单方向动能定理的“分解式”才能使用，即需建立直角坐标系，将力和速度分解到坐标轴上.

再回顾例题2，以其中一个力F的所在方向为x轴建立直角坐标系，如图6所示，其中F1,s1,v1分别是力F,位移s,速度v在x轴上的分量，在x轴上运用动量定理的“分解式”，有

图6 力、位移和速度分解

又

F1=Fcos 60°s1=scos 30°v1=vcos 30°

4 案例运用

利用动能定理单方向的“分解式”可以快速解决一些相对复杂的问题，接下来看到以下例题.

【例3】在水平向右的匀强电场中，如图7所示，场强为3 V/m，一电荷量为2 C的小球从A点竖直向上抛出.如图7所示，运动轨迹中的A,B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点.小球抛出时的动能为8 J，在M点的动能为6 J，不计空气的阻力.求：

图7 例3题图

(1)小球水平位移x1与x2的比值；

(2)小球落到B点时的动能EkB；

(3)小球从A点运动到B点的过程中最小动能Ekmin.

解：(1)沿水平和竖直方向建立直角坐标系，如图8所示.在竖直方向，小球受重力，做竖直上抛运动，又A,B两点等高，所以A→M和M→B所用时间相同.在水平方向上，小球仅受电场力，做初速度为零的匀加速直线运动，由初速度为零的匀变速直线运动规律，得x1∶x2=1∶3.

图8 运动分解

(2)小球从A→M，M点为最高点，则M点的速度水平，在水平方向上运用动能定理的“分解式”为

WAM电=EkMx-EkAx

其中

EkMx=6 JEkAx=0 J

得WAM电=6 J.

又x1∶x2=1∶3，则

A→B,WAB电=4WAM电=24 J

小球从A→B，由动能定理，得

WAB电=EkB-EkA

又EkA=8 J，得EkB=32 J.

(3)物体从A→M，设小球所受的电场力为F,在水平和竖直方向分别运用动能定理的“分解式”，有

Fx1=EkMx-EkAx

(7)

-Gh=EkMy-EkAy

(8)

其中EkAx=0，EkMy=0，得

Fx1=6 JGh=8 J

又

(9)

(10)

由式(7)～(10)得

由图9可知

设电场力和重力的合力为

F合=mg′=G′

式中G′为等效重力，以G′所在方向为轴建立直角坐标系，如图9所示.

图9 等效重力场

在小球从A到B的过程中，将速度分解至坐标轴上，当小球在沿G′方向的分速度减为零时，具最小速度为

vmin=v0sinθ

又

且

得