具有一个导函数的Hardy-Hilbert型积分不等式

辛冬梅, 杨必成, 闫志来

(1. 广东第二师范学院 数学学院, 广州 510303； 2. 广州中医药大学 公共卫生与管理学院， 广州 510006)

0 引 言

(1)

(2)

这里, 常数因子π仍是最佳值. 不等式(1)和(2)在分析学及其相关领域应用广泛[2-13].

1 引 理

本文假设p>1, 1/p+1/q=1,λ>0,λi∈(0,λ)(i=1,2),a∶=λ-λ1-λ2,f(x),g(y)是+∶=(0,∞)上的非负可测函数,g(0+)=0,g′(y)≥0 a.e.于+, 满足条件

引理1对于t>0, 有如下不等式:

(3)

证明: 因为g(0+)=0, 故由分部积分法, 有

即式(3)成立. 证毕.

引理2定义权函数为

(4)

(5)

则有

(6)

ω(λ1,y)=B(λ1,λ-λ1),y∈+,

(7)

即式(6)成立. 同理, 式(7)成立. 证毕.

Γ函数定义为

(8)

对于λ,x,y>0, 可推出

(9)

恒等式Γ(α+1)=αΓ(α)(α>0)及联系Beta函数的公式

(10)

引理3如下Hardy-Hilbert积分不等式成立:

证明: 由Hölder不等式[25], 有

若式(12)保持等号, 则有不全为0的常数A和B, 满足

不妨设A≠0, 则存在y∈(0,∞), 使得

与

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(13)

矛盾. 事实上, 对于式(13)左边, 当a=λ-λ1-λ2∈时, 有x-1-adx=∞. 故由式(8)和式(9)知式(11)成立. 证毕.

2 主要结果

定理1如下具有一个导函数的齐次核Hardy-Hilbert型积分不等式成立:

特别地, 当λ1+λ2=λ(或a=0)时, 式(14)变为

(15)

证明: 由式(9)、交换积分次序的Fubini定理[26]及式(3), 有

再由式(11)有式(14). 当a=0时, 式(14)变为式(15).

对任意的0<ε

(17)

可求得

由Fubini定理[26], 又有

把式(18)代入式(17), 有

(19)

在式(19)中令ε→0+, 由Beta函数的连续性, 有

还可将式(14)改写为如下不等式:

(21)

由Hölder不等式[25], 又有

故式(22)保持等号, 即有不全为0的常数A和B, 使得Auλ-λ2-1=Buλ1-1a.e.于+[25]. 不妨设A≠0, 则有于+, 即有a=λ-λ1-λ2=0,λ1+λ2=λ.证毕.

定理3下列结论等价:

3)λ1+λ2=λ;

证明: 1)⟹2). 由1)及Beta函数的连续性,……