马尔科夫链驱动的带停时的超前倒向随机微分方程的适应解

2021-11-30 12:37李志民张雪峰
安徽工程大学学报 2021年5期
关键词:常数区间定义

陈 威,李志民,张雪峰

(安徽工程大学 数理与金融学院,安徽 芜湖 241000)

Pardoux等首次提出了倒向随机微分方程(BSDEs)的概念,其形式如下:

-

dY

=

g

(

t

Y

Z

)

dt

-

Z

dW

t

∈[0,

T

]。

Cohen等在此基础上考虑马尔科夫链驱动的BSDEs,证明其适应解的存在唯一性。肖新玲等利用连续性方法研究由马尔科夫链驱动的BSDEs关于初值的比较定理。随后,肖新玲通过迭代法证明了由马尔科夫链驱动的BSDEs解的存在唯一性。Peng等考虑生成元中包含当前和未来时刻解的情况,给出超前倒向随机微分方程(超前BSDEs)的概念,其形式如下:

式中,

α

(·):[0,

T

]→

R

β

(·):[0,

T

]→

R

是满足下面条件的连续函数:(1)存在某一常数

K

≥0,使得对任何

t

∈[0,

T

],

t

+

α

(

t

)≤

T

+

K

t

+

β

(

t

)≤

T

+

K

。(2)存在某一常数

C

≥0,使得对任何

t

∈[0,

T

]以及非负可积函数

f

(·),

随后,杨哲对其理论做出进一步研究。Lu Wen等在以上工作的启发下,提出如下形式的由马尔科夫链驱动的超前BSDE:

式中,

α

(·):[0,

T

]→

R

β

(·):[0,

T

]→

R

是满足假设(1)和(2)的连续函数。

由于由马尔科夫链驱动的超前BSDEs的生成元包含当前和未来的解,且有限停时在期权定价中有着至关重要的作用,因此,带有停时的超前BSDEs在金融市场中具有非常广阔的应用前景。吕思宇研究了马尔科夫链驱动的超前BSDEs在金融中的应用。陈增敬考虑终端条件为有限停时,讨论了一类BSDEs在随机区间上解的存在性与唯一性。司徒荣等考虑终端条件为无界停时,讨论了一类BSDEs在随机区间上解的存在性与唯一性。Yang等在超前BSDEs生成元不含Z的超前项这一假设下,讨论了一类带有停时的超前BSDEs解的存在性与唯一性,并得到了一个关于解的逆比较定理。文献[6]考虑由马尔科夫链驱动的超前BSDEs解的存在唯一性。文献[11]在固定时间区间上考虑超前BSDEs生成元中不含Z的超前项。研究在此基础上引发一个猜想:生成元中包含Z的超前项的由马尔科夫链驱动的超前BSDEs在有限随机区间上是否存在唯一解,答案是肯定的。研究尝试通过有限随机区间上的由马尔科夫链驱动的超前BSDEs来解决这个问题,其生成元中包含Z的超前项。研究证明由马尔科夫链驱动的带有停时的超前BSDEs存在唯一适应解。

1 预备知识

T

∈[0,∞],

X

={(

X

)≥0}是连续时间有限状态马尔科夫链。马尔科夫链的状态空间可以用

R

中的单位向量表示为

S

={

e

e

,…,

e

},其中

N

是马尔科夫链上的状态数。(

Ω

F

P

)是

T

上的完备概率空间,(

M

)≥0是定义在该空间上与马尔科夫链{(

X

)≥0}有关的平方可积鞅,(

F

)≥0是由(

X

)≥0生成的

σ

域流。对任意的

z

R

,‖

z

‖为欧式范数。设

Q

为马尔科夫链

X

在时刻

t

的速率矩阵,定义数量关系如下:

式中,

A

表示

A

的转置。

定义空间如下:

L

(

Ω

F

P

)={

ξ

ξ

R

值,

F

是可测的,

E

[‖

ξ

‖]<∞}。

对任意的

t

∈[0,

T

],定义

对任意的(

Y

Z

)∈

B

,考虑

Y

Z

的范数:

定义(

Y

Z

)的范数:

式中,

B

是一个Banach空间。设有限停时

τ

<+∞,考虑下面由马尔科夫链驱动的带停时的超前BSDE:

(1)

式中,

α

(·):[0,

τ

]→

R

β

(·):[0,

τ

]→

R

是满足下面条件的连续函数:(1)存在某一常数

K

≥0,使得对任何

t

∈[0,

τ

],(

t

+

α

(

t

))-≤

τ

+

K

,(

t

+

β

(

t

))-≤

τ

+

K

。(2)存在某一常数

C

≥0,使得对任何

t

∈[0,

τ

]以及非负可积函数

f

(·),

2 解的存在唯一性

考虑由马尔科夫链驱动的带有停时的超前BSDEs。假设由马尔科夫链驱动的带停时的超前BSDEs的生成元满足Lipschitz条件,通过Doob鞅不等式以及不动点定理,证明由马尔科夫过程驱动的带有停时的超前BSDEs适应解的存在唯一性。

证明

首先,对给定的常数

C

,假设

由假设条件(3)可得

(2)

由Doob鞅不等式可知

E

[

sup

∈[0,](

E

y

(+())-‖)]≤

E

[

sup

∈[0,](

E

(

sup

∈[0,+]

y

-‖))]≤4

E

[

sup

∈[0,+]

y

-‖]。

(3)

将式(3)代入式(2)可得

(4)

(5)

定义

l

:

B

B

是由式(2)、式(3)构造的映射,则

l

:(

y

z

)→(

Y

Z

)。

(6)

(7)

由杜布鞅不等式和假设条件(3)可得

可知

因此,

l

:

B

B

是压缩映射。由不动点定理可知超前BSDE(式(1))存在唯一解。

由假设条件(7)可知

存在常数

L

使得

(8)

式中,

t

∈[0,

τ

],

因此,

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