微分分次Frobenius代数

胡清秀，何济位

(杭州师范大学数学学院，浙江 杭州 311121)

1 预备知识

在研究非交换奇点解消理论中,需要考察分次Frobenius代数上的微分结构,再由Koszul对偶理论,将非交换奇点问题转化为研究微分分次模范畴的问题,为此本文引入了微分分次Frobenius代数的概念.文献[1]中给出了Frobenius代数的4个等价定义,在此基础上本文得到了微分分次Frobenius代数的另外3个等价定义,并研究了如何在三阶外代数上构造微分分次Frobenius代数.下面我们明确符号的约定以及一些预备知识.

定义1[1]令A为域K上的有限维代数.若存在一个映射σ∶A×A→K,对任意的x,y,z,x1,x2,y1,y2∈A,k∈K,满足以下条件:

1)σ(xy,z)=σ(x,yz);

2)σ(x1+x2,y)=σ(x1,y)+σ(x2,y);

3)σ(x,y1+y2)=σ(x,y1)+σ(x,y2);

4)σ(kx,y)=σ(x,ky)=kσ(x,y);

5)σ是非退化的,即仅当y=0时,对任意x都有σ(x,y)=0.

那么A就称作是一个Frobenius代数,σ称作A的Frobenius结构映射.满足条件1)～4)的映射称为结合的双线性映射.

定理1[1]若A是一个有限维代数,A*是A的对偶空间,则以下条件是等价的:

1)A是Frobenius代数;

2)A与A*作为左A-模是同构的;

3)A与A*作为右A-模是同构的;

4)A*作为左A-模或者右A-模是循环模.

定义2[2]设A=⊕i∈Ai是一个-分次代数.若存在一个次数为1的分次线性映射d∶A→A使得对任意齐次元a,b∈A满足:

1)d2=0;

2)d(ab)=d(a)b+(-1)|a|ad(b).

那么A就称作是一个微分分次代数,d称作是A的微分.

定义3[3]令A=⊕i∈Ai是一个微分为d的微分分次代数,设M=⊕i∈Mi是一个分次左A-模.若存在次数为1的线性映射d′∶M→M使得对任意m∈M,a∈A满足:

1)d′2=0;

2)d′(am)=d(a)m+(-1)|a|ad′(m).

那么M就称作是一个微分分次左A-模.

定义4[3]令A=⊕i∈Ai是一个微分为d的微分分次代数,设M=⊕i∈Mi为分次右A-模.若存在次数为1的线性映射d′∶M→M使得对任意m∈M,a∈A满足:

1)d′2=0;

2)d′(ma)=d(m)a+(-1)|m|ad′(a).

那么M就称作是一个微分分次右A-模.

2 微分分次Frobenius代数

令A=⊕i∈Ai是一个以d为微分的微分分次代数,则A*是一个……