利用GeoGebra巧解高中物理力学动态平衡试题

冯金宝 王永成

动态平衡是指物体所受的力一部分是变力，力的大小和方向均要发生变化，但变化过程中物体的每一个状态均可视为平衡状态.一般是三个力的共点力平衡问题，其中重力肯定不变.为满足平衡状态，另外两个力的关系是由一个力的变化引起另一个力的变化，这个力的变化有三种情况：方向不变大小变、大小不变方向变、大小和方向都变.常用正交分解、矢量三角形以及图示法解决动态平衡问题，但是在教学中，动态平衡的“动”往往变成了“静”，因为在板书过程中难以做到实时动态展示，而GeoGebra（后文简称GGb）软件最大优势就是能动态展示.

一、GeoGebra软件的特点

GGb软件是一款程序思路清晰、几何对象属性较多、支持中文指令输入的数学软件.它功能强大，绘图工具齐全，使用简单，交互性强，同时具备很多软件没有的字母运算、微积分和统计概率等功能.GGb虽然是一款数学软件，但是应用于物理教学研究也十分便利，与常用的物理教学软件相比有很大优势.与“几何画板”相比易于实现3D显示;与“NOBOOK虚拟仿真实验”相比学生能够清楚看到动画显示的底层逻辑;与“MATLAB”相比不需要使用者掌握编程语言，在满足教学需求的基础上，GGb软件最大的特点就是免费开源.

一般的物理模型可以抽象成几何对象，物理学中力、速度、加速度等矢量可以利用向量功能来表示;代数区可以与绘图区和指令栏动态实时响应，所以GGb的交互性极强，可以制作相应的动画，在解决力学中动态平衡问题更加得心应手.因此不论是物理模型的构建还是动画的制作，GGb软件在物理教学过程中有很强的适应性，目前致力于应用GGb软件进行物理课件开发的人越来越多.

二、GeoGebra课件制作及解题过程

1.“方向不变大小变”型

（2016全国Ⅱ.14）如图1，质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（  ）.图1

A.F逐渐变大，T逐渐变大

B.F逐渐变大，T逐渐变小

C.F逐渐变小，T逐渐变大

D.F逐渐变小，T逐渐变小

本题主要考察受力分析、受力平衡，是“方向不变大小变”类型.以节点O为研究对象进行受力分析，点O处受到拉力F、OA绳拉力T和OB绳拉力，OB绳拉力大小为mg.首先画出一固定点A，利用“圆心和半径工具”以A点为圆心，一定长度为半径画圆c，在圆c上选取一点O，连接线段OA代表绳OA段.利用“圆心和半径工具”以O点为圆心，一定长度为半径画圆d，利用垂线工具过O点做出x和y轴的垂线，圆d交x轴垂线于B、H点，连接线段OB.利用平行线工具，过H点做OA、y轴垂线的平行线，分别交于F和E点，连接线段OF和OE.利用向量工具连接OB、OF、OE，表示力的大小并设置显示条件为标题和数值，隐藏辅助线和不需要显示的对象与标签，完成课件制作.如图2所示，O点向左移动的过程中可以直观看出F逐渐变大，T逐渐变大.

2.“大小不变方向变”型

（2020全国卷Ⅲ题17）如图3，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连，甲、乙两物体质量相等.系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α=70°，则β等于（  ）.

A.45° B.55° C.60° D.70°

本题主要考察受力分析、受力平衡、相似三角形，是“大小不变方向变”类型.以O点为研究对象进行受力分析，点O处受到分别靠近甲物体、乙物体、墙一侧三股绳的拉力，因为甲乙两物体质量相等，所以这两段绳的拉力大小相等.任意画出一点P，过P点做y轴平行线，以P为圆心将该线旋转70°（α=70°）得到直线m.任选取一点O，以O点为圆心，一定长度为半径画圆d，过O点做x轴垂线，交圆d于B、H点.过O点做直线m平行线，交圆d于C点，连接线段OB、OC，过C点做OB平行线、B点做OC平行线，交于D点.做直线OD，在直线上任取一点A则为墙上固定点.∠β则为∠AOH，利用“角”工具可以直接度量出∠β=55°.

本题利用相似三角形法得到∠α+2∠β=180°的关系，通过计算求出∠β=55°，若将题目难度加大可进行以下改动：悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.为使节点O缓慢向上移动，则定滑轮应（  ）移动.

A.竖直向上  B.竖直向下

C.水平向左D.水平向右

题目改编后，由于节点O与定滑轮都将运动，使得整个平衡过程更加复杂，学生因为过程复杂找不到问题的切入点，如果教师通过GeoGebra软件演示效果会更加直观.如图4所示，J点为定滑轮初始位置，使节点O缓慢向上移动，可以明显观察到定滑轮应竖直向上或水平向左移动.

3.“大小和方向都变”型

（2021湖南题5）质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图5所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点.凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块.用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（  ）.

A.推力F先增大后减小

B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大

C.墙面对凹槽的压力先增大后减小

D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大

本题主要考察受力分析、受力平衡、牛顿第三定律与整体法和隔离法等知识点，是“大小和方向都变”的类型.解题时需要学生有很好的三角函数基础，掌握三角函数的单调区间，C选项会利用到三角函数的倍角公式，学生可能无法判断出在弧AB中点处墙面对凹槽的压力有最大值.将小滑块抽象为质点用点M表示，地面用直线表示，墙面用矩形表示，凹槽简化成半圆环.选取固定点O（0，0），利用“定长线段”工具画出线段BD，利用“半圆工具”以O为圆心BD为半径画出半圆d，利用“交点工具”画出d与x和y轴交点A、B;利用“垂线工具”分别过B和D点作x轴垂线，在其中一条垂线上任取一个点，过该点做x轴平行线得到“地面”所在直线.左面的墙壁可以利用“多边形工具”制作一个合适大小的矩形，对四边形进行颜色填充，小滑块m则为半圆d上的一个附着点.

小滑块受重力G、推力F和凹槽支持力FN三个力作用，缓慢运动（始终保持平衡状态），只有重力为恒力.在过M点与x轴垂线上画出定长线段HM表示所受重力G;凹槽支持力FN受力方向始终指向圆心O，即在直线MO方向;推力F方向为半圆d在M点处的切线，过线段MH上H点做OM平行线交于J点.最后连接线段JM、MH、HJ，显示条件为“名称与数值”，利用向量工具表示对应的力.墙面对凹槽的压力为N=Fcosθ，在墙面与凹槽接触面任意选取一点L，利用直线工具做出与F力大小相等且平行的力F'.水平地面对凹槽的支持力N地，为滑块和凹槽重力与推力F竖直方向分力的合力，在水平直线上任意选取一点S，构造出各个线段之间代数和的动态数字g，在S点处以数字g为固定长度构造定长线段，将所得线段旋转到竖直向上方向得到新线段表示N地，最后隐藏辅助线，调整几何对象显示样式.如图6所示，小滑块从A点运动到B点过程各个力的变化情况，整个过程推力F一直增大;凹槽对滑块的支持力FN一直减小;墙面对凹槽的压力F′x先增大后减小;水平地面对凹槽的支持力N地一直增大.

通过以上三个实例可以证明，GGb软件在处理动态平衡问题时的直观性.当前课程改革以发展学生核心素养为目标，高考也在强化对知识与能力的考察.课件的动态显示与常规解题方法相结合的教学模式，可以增强学生的感性认识，降低学生理解难度，解决学生在动态分析过程中困惑，突破教学难点，培养学生科学思维.新时代教师也应该掌握更多元的信息化教学手段，发挥教师的主导作用，在课堂上增加信息技术手段的使用频率，利用其形象丰富的表现形式，吸引学生的学习兴趣，充分调动学生学习的积极性，突出学生的主体学习地位，使学生学习观念完成从“要我学”到“我要學”的蜕变.

（收稿日期：2021-07-30）