高中立体几何空间角的教学反思

【摘 要】本文基于人教版必修二异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的教学（几何法求空间角），主要对教师的教学策略和过程、对教材的处理以及学生遇到的问题进行反思，提出在空间角的教学中，教师设置的问题应以用定义或简单作图就能解答为度，重点要实现对学生空间想象力的训练。

【关键词】空间角 教学反思 高中数学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）26-0090-02

空间角是全国新课标卷中的必考题。人教版高中数学必修二中对空间角的学习主要是利用从异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角这三种空间角的定义出发的几何法来解决，而非空间向量坐标法。但纵观近五年的全国卷高考题，大题第二问考查的空间角一般都倾向于使用空间向量坐标法，而小题中考查的空间角问题也可以用空间向量坐标法。由于用几何法来解决空间角要求有一定的空间想象力且对空间思维要求较高，学生普遍觉得难度较大，这对教师的教学产生了较大的考验。必修二是学生初次接触空间角的学习内容，要求学生展开空间思维并构建关系来计算，从教学内容来看既是概念性知识教学，又是程序性知识教学，因此这部分知识的学习对学生和教师都是较大的考验。

一、异面直线所成角的教学反思

异面直线所成角是学生学习了空间两直线的位置关系后学习的内容，此时学生已具备了异面直线的定义、两直线平行和相交的基础知识。在教学的引入部分，教师使用两根直棒和正方体模型来和学生一起探究异面直线所成角的定义。教师先让学生找出两条直线相交而得的两对对顶角。理解了两条相交直线所成角后，通过平移这两条相交的直线，引出异面直线所成角的定义和范围，合理地把空间问题转化为平面问题。接下来教师以正方体为背景列举了几对异面直线所成角求法的例子，加深学生对异面直线所成角定义的理解和对利用几何法解决异面直线所成角基本方法的学习，使大部分学生掌握了使用平行四边形和三角形中位线来平移，平移后进而通过解三角形来求两条异面直线所成角的方法。在课堂上笔者发现，学生在求三角形中一个角的三角函数值时常遇到困难，原因是学生还没有学过必修四和必修五，没有具备三角函数定义和解三角形的知识，于是只能求解出直角三角形和等腰三角形中的一个角的三角函数值。教师在课后给学生提供了以长方体、直三棱柱、正四面体为载体的练习。通过课后练习，笔者发现学生存在的主要问题有：（1）少部分学生还不会利用平行四边形和三角形中位线来平移;（2）约四分之一的学生平移后不会通过解三角形来求异面直线所成角;（3）约三分之一的学生在解三角形的计算中出错。通过反思，笔者得出结论：教学的过程和方法是恰当的，只是教学内容在课本例题的基础上做了点丰富和提升;学生对异面直线所成角的概念基本理解（完成概念性知识教学）;平移后围成的三角形是直角三角形的类型绝大部分学生已经能解决（完成程序性知识教学），围成的三角形是等腰三角形的类型还有少数学生不会求解，但大部分学生不会求解已知三角形三条边而求一个角的函数值，因此在求解和计算方面学生还需要加强（需要一节习题课）。

二、直线与平面所成角的教学反思

直线与平面所成角是学生学习了直線与平面垂直的判定定理后才学习的内容。学生在学习三视图时学习了几何体的正投影，故线在面上的射影学生是能理解的。在教学引入时，教师先让学生指出正方体中一条体对角线在底面上的射影在哪里，接着观察底面上的线和这条体对角线所成角的大小变化，引导学生发现这条体对角线和它在底面上的射影所成角是它和底面上任意一条直线所成角中最小的角，具有唯一性，可以用来衡量直线与平面所成角的大小，进而合理给出直线与平面所成角的定义和范围，实现把空间问题转化为平面问题。在教学过程中，笔者引导学生学习课本上的例题2，并在例题2的基础上提出几个简单的线面角问题，然后以长方体为载体再出几道练习题，并在学习例题和讲评练习时强调“一作二证三计算”的过程。课堂上笔者发现，学生对题目中具备线面垂直且容易找出线在面内射影的求线面角问题已经较好掌握，但对需要证明线面垂直的类型少部分学生存在问题，对需要作辅助线然后证明线面垂直的类型有一半左右的学生存在问题。课后笔者布置了一道以正三棱柱为载体和一道以有一条侧棱垂直于底面的四棱锥为载体的作业题。课后作业中学生存在的主要问题有：（1）约三分之一的学生忘记明确指出哪个是所求的线面角，很多学生没有养成求出结果后回答所求线面角的习惯;（2）约三分之一的学生没有指出直线在平面内的射影是哪条直线;（3）少部分学生忘记证明线面垂直，在作辅助线后就直接开始计算了。通过反思得知，教学过程中师生互动是良好的;学生对线面角概念的形成是认可的（概念性知识教学基本完成），对线面角的求法过程是了解的（程序性知识教学初步完成）;但学生需要加强复习理解和增加练习强化。

三、二面角的教学反思

二面角的定义概念是必修二中在学习面面垂直的判定定理之前的准备知识。学生理解了二面角的概念，自然而然就能理解当二面角是直二面角时两平面互相垂直的定义，进而可以探究面面垂直的判定定理。第一课时，先让学生通过观察水坝面与水平面、人造卫星轨道面与赤道平面这两张图片来理解二面角的概念。接着通过观察打开书本的过程来探究二面角的平面角的定义，引导学生发现从二面角的棱上的一点出发且分别在两个半平面内的两条射线都和棱垂直时所成角可以用来衡量二面角的大小，且这样的角大小是唯一的、恒定的，这样则顺利把空间问题转化为平面问题。进而给出直二面角的认识和面面垂直的定义，让学生观察沿门轴转动时门所在的平面与地板面的位置关系来探究面面垂直判定定理，发现从线面垂直到面面垂直的关系——无论怎么转动门，门轴总是和地板面垂直的，而门所在平面也和地板面垂直。在学生探究得出面面垂直的判定定理后，笔者引导学生解答课本上的例题3和课后练习中证明面面垂直的题目。求二面角的学习已经是第二课时的内容了。虽然课本没有给出例题，但习题中是有求二面角的练习的，因而求二面角的教学完全由教师自由发挥了。在求二面角的教学时，先要复习二面角的平面角的定义，接着以正方体为背景提一些简单的求二面角大小的问题，加强学生用定义求二面角大小的能力。然后让学生观察并思考正方体一角（墙角模型）中斜面与底面所成二面角的求法，进而归纳出求二面角的第二种方法，即先构造线面垂直，再利用三垂线定理作出二面角的平面角。在例题和练习方面，笔者分别以长方体、正四面体、正三棱锥为背景提出几个问题，讲评时强调的“一作二证三计算”的过程，以加强学生对第二种方法的掌握。在课堂上发现，学生对二面角的平面角的定义是理解的（完成概念性知识教学），绝大部分学生能解决不需要作辅助线就有二面角平面角的问题，有一半以上的学生能解决简单利用三垂线定理作出二面角平面角的问题（基本完成程序性知识教学）。课后笔者分别以正三棱锥和正方体为载体布置了两道作业题。课后作业学生存在的主要问题有：（1）约五分之一的学生不会利用正三棱锥中两个同底等腰三角形底边上的中线来作出二面角的平面角;（2）约三分之一的学生不会通过三垂线定理来作出二面角的平面角，会作辅助线的学生中有部分忘记写简单的证明过程;（3）一半左右的学生在计算过程中存在问题。通过反思，发现必修二课本中对求二面角的大小的能力要求只是会用定义和作一些简单辅助线来求解二面角的平面角，但教学过程中给出的练习的难度超出了部分学生的能力，因而学生掌握起来比较吃力。因为利用三垂线定理作出二面角平面角的过程对学生要求较高——学生需要作出辅助线并会证明线面垂直，所以这类问题需要学生多加练习，同时教师要注意把握难度。

四、空间角教学的整体反思

反思异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角这三部分的教学，学生的空间想象能力、计算能力和構图画图能力是得到提高的，能为后续用空间向量坐标法求空间角打下基础。教师在教学过程中要注意的问题有：（1）教师应更好地设置引入部分的教学，以免在引入时太生硬让学生更难参与课堂教学，因此在教学引入时应多使用生活中学生熟悉的几何模型，设置自然连贯的问题串，引导学生一步一步地探究得出空间角的概念，顺利完成空间角的概念性知识教学;（2）在空间角的求法教学环节，教师应放慢速度，重点强调解题的步骤和计算的难点，且求空间角的方法不宜归纳过多，应重点教学基本的方法;（3）在例题的设置和作业练习的布置方面，教师要把握好难度，重点练习学生较熟悉的以典型几何体为背景的问题。学生在学习空间角时遇到的问题有：（1）空间想象力和空间思维遇到较大挑战，当遇到没有给出图形的题目时，构图画图遇到困难，而当遇到需要作辅助线并证明线面垂直的问题时，觉得无从入手或不会证明;（2）在计算空间角时遇到困难，有的因方法步骤没有掌握好而寸步难行，有的因不会解三角形而苦恼（因为没有学过三角函数和解一般的三角形，只会解直角三角形和等腰三角形），有的因粗心频频出错而捶胸顿足;（3）在题型和方法归纳时遇到困难，在没有教师的复习指导的情况下，学生对空间角学了几种方法数不出来，哪些题目是同一种题型分辨不出，只知道盲目地做课后练习和配套资料，但做完并不知道归纳总结。

总的来说，在进行空间角的教学时，教师设置的问题不需要太难，达到能用定义或简单作图就能解答的难度即可，主要应实现对学生空间想象力的训练，毕竟在高考中计算空间角时学生更倾向于使用空间向量坐标法;教师对学生的要求暂时不宜过高，学生能理解空间角的概念和掌握空间角的基本求法就可以了，至于学生计算方面存在的问题会在后面的学习中逐步得到解决。

【参考文献】

[1]余林.课堂教学评价[M].北京：人民教育出版社，2006.

[2]李广.评好课：应知应会[M].长春：东北师范大学出版社，2010.

【作者简介】青增享（1979— ），男，壮族，广西南宁人，大学本科学历，一级教师，现就职于广西民族高中，主要研究方向为中学数学课堂教学。

（责编 唐玉萍）