数学思想在高中数学教学中的应用

【摘 要】本文论述在高中数学教学中运用数学思想的策略，针对部分教师忽略学生数学思想培养的问题，提出将类比思想、建模思想、化归思想、数形结合思想、整体思想等与具体教学相结合的对策。

【关键词】高中数学 数学思想 渗透应用

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）26-0124-02

如何走出“题海战术”怪圈，是学生学习高中数学需要解决的一个问题。要解决这一问题，教师需要建立数学思想意识，将各种数学思想渗透于教学全过程，不断提高学生的思考能力和学习效率。数学思想包含着丰富的方法论，教师要以传授方法为切入口对学生进行引导，让学生开展科学的学习。高中阶段接触的数学思想内容极为丰富，教师在具体教学实践中，要根据教学内容、教学目标和学生学情做好筛选，将数学思想更好地落实到教学中。

一、类比思想培养学生的鉴别能力

类比思想是最为常见的一种数学思想。教学中，教师要有意识地渗透类比思想，引导学生对一些类似问题和事物进行归类，然后进行比较分析，从类比分析中寻找解决问题的一般方法和规律。要想培养学生的类比思想，教师就要将这种思想渗透到具体的教学环节中，通过具体的教学活动指导学生学习、使用这一思想，让学生能够自然地进行深度观察和比较，在求同求异的思考过程中建立起学科学习的基础。

如人教版高中數学必修2《直线与平面垂直的判定》一课，本课学习内容与初中知识有一定的衔接关系，教师首先应引导学生复习旧知，找到学习切入点，让学生对新的知识有初步认识，然后明确如下教学目标：①理解直线与平面垂直的定义和判定定理;②掌握判定直线与平面垂直的方法;③培养学生归纳概括结论的能力。

在导学环节，教师先让学生列举生活中存在的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面垂直，窗户上的竖杠和横杠、窗台、桌面等垂直;然后从中选取两三个学生最为熟悉的案例，让学生对其进行具体观察、比较、分析，进一步讨论直线与平面垂直的定义;接着，要求学生利用手中的纸张、书本、笔等材料做操作演示、验证，尝试说一说直线与平面垂直具有哪些特征、条件。学生完成自学后，教师让学生组成学习小组，小组成员在本组内展示自学所得，然后各组对组员自学成果进行分类、比较，形成本组的实验方案，再采用多种方法对方案进行推演论证。在此过程中，教师要巡堂观察学生的操作，适时点拨，并引导学生进行类比思考，然后选出最为科学的实验方案做推介展示。

通过对学习方案的类比分析，各学习小组都选出了科学合理的实验方案，如有的学习小组用三角形的纸片做道具，通过折叠操作，然后将折叠后的纸片置于桌面上，观察哪种情形下纸片是与桌面垂直的，通过实验验证了直线与平面垂直的定义（如下图）。

通过推出实践操作任务，让学生自行设计实验方案，然后进行分类比较，从而选出最优方案，给学生创造了锻炼类比思维的机会。从学生的课堂表现可以看出，学习运用类比思想，可以有效提高学生的鉴别能力，帮助学生形成崭新的学习认知。

二、建模思想培养学生的逻辑能力

数学建模是指将知识进行抽象化处理，用数学符号和语言表述数学知识、数学概念、数学方法、数学实验、数学操作等，建立数学模型以解决实际问题。建模思想是一种集约化逻辑思维方式，就是将零碎的信息进行系统化归类，将平面知识做立体化设定，从而构建完整的知识体系。

高中学生数学思维基础较好，非常适合开展建模思想培养。在具体施教前，教师要做好充分的学情调查，根据学生实际设计相应的教学环节，及时投放任务，引导学生开展多种形式的建模实践，在主动探索和不断体验、改进过程中建立学科的认知体系。如在教学《空间几何体的结构》时，教师引导学生对相关概念做梳理后，为学生提供了一组立体图形和数据，让学生观察图形、分析数据，逐步将学生引入空间几何体的学习情境。在此基础上，教师进一步要求学生绘制表格，将相关数据与对应图形分类填入表格，以此引导学生构建相应的数学模型，让学生自然进入模型构建学习。

在这个过程中，学生经历了从形象图形到抽象概念的建模过程，通过观察、分类、归纳、抽象、概括、归结等思维活动，逐步建立起关于空间几何体的认知体系。在课堂教学的最后阶段，教师进一步给出棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、球体等几何体，要求学生对这些实物几何体做更细致的观察、研究，结合教材相关内容进行分析，逐渐形成实践性认知。在整个教学过程中，教师通过提供实物和数据，让学生进行观察、实验，将实物、数据与课本知识进行对接处理，从而形成了较为完善的空间几何体的认知模型。

三、数形结合思想培养学生化繁为简的能力

数形结合思想是常见的数学学习方法之一，其主要特点是将文字、数据等与相关图形结合，将抽象的文字、数据转换为形象的图象，从而更有效地解决数学难题，为学生顺利展开深度学习创造条件。数形之间是可以互相转换的，既可以将复杂的数据转换为简单的图形，也可以将复杂的图形转换为简单的数据，以达到化繁为简的目标，提高学生的学习效率。

简而言之，应用数形结合思想就是为了“化简”。但由于学生的学科知识水平存在一定差异，所以在培养学生的数形结合思想时，教师要做好分层处理，根据不同学生群体的实际提供不同的学法指导，让每一名学生都能获得运用数形结合思想的实践机会。

如在教学《直线的方程》时，教师首先重点讲解直线的点斜式、斜截式、两点式等，分析直线与二元一次方程的对应关系，指导学生在梳理出直线与二元一次方程对应关系的基础上，归结出直线方程的几种形式特点。接着，教师列举了几个典型案例，让学生应用数形结合思想对案例进行分析。在这个学习过程中，学生用图形呈现数据，将难以用语言描述清楚的“直线与二元一次方程的对应关系”的概念，转换为直观的图形，让学生对这一知识有更加深入的理解，取得了良好的教学效果。

其实，学生很早便接触过数形结合思想，对于如何应用也已经比较熟悉，在高中阶段的数学教学中，教师需要做的是让学生学会对接处理的方法，即如何将图形与数据进行对接，让学生懂得借助相关图形处理相关数据，将数形结合思想内化为学生的学习行为。

四、化归思想培养学生的转化意识

所谓“化归思想”，是将未知、复杂的问题做演绎归纳处理，得出熟悉、简单的问题。可以说，化归思想是一种典型的化难为易的学习方法。在数学学科学习中，常常会遇到一些复杂的数学问题，这时候就需要学生学会运用化归思想对这些复杂问题进行简单化处理。

在介入化归思想时，教师需要做好必要的教学调研，对学生的接受能力做出理性判断，为学生创造转化的机会，给出具体的转化程序，让学生在实际操作中形成化归思想。如教学《圆的方程》一课时，教师首先向学生呈现学习目标，然后借助具体的案例做对接讲解，引导学生找到列出圆的方程的基本方法，最后要求学生根据实验操作进行归结，写出归结方法，为参与班级展示活动打好基础。在学生完成上述学习步驟后，教师进一步要求学生将归结所得的结论，转化应用到圆的方程的求解中。从中，学生得到了多种圆的方程的求解方法，如有的学生运用几何知识求解圆的方程：首先利用弦的中垂线确定圆心的坐标，然后求出圆的半径，最后写出圆的标准方程。同时，有些学生运用待定系数法展开思考和归结，最终也顺利求出圆的方程。

运用化归思想的难点在于归纳并转化应用，学生必须具备一定的归结能力、转化应用能力。在本课教学中，教师没有直接给出圆的方程的求解方法，而是通过让学生分析多个实际案例，从案例分析中自主归纳出一般性方法，再让学生用这些方法去解决实际问题，学生自主归纳并转化运用了圆的方程的求解方法，培养了学生的化归思想。从学生在课堂上的表现情况能够看出，大多数学生能够顺利找到正确的操作方向，归纳出正确的方法并学会运用方法解决问题。

五、整体思想培养学生的集成能力

从知识的整体性出发，对相关问题做结构化处理，通过对问题进行整体性、系统化研究，形成集约性认知，在归结整合中建立起认知网络，这就是整体思想。在数学学习中，我们常常需要将一些式子、图形看成一个整体，通过整体带入、整体运算、整体设元，解决相关数学问题。整体思想能训练学生的大局观，促进其系统认知的形成。

高中数学具有较强的抽象性、逻辑性等特点，教师在组织具体教学时，要注重培养学生的整体思想，让学生在零碎的知识学习中获取感性认知，然后引导学生将零碎的感性认识进行整合处理，逐渐建立整体思想，形成集成内化的能力。如《空间直角坐标系》一课的教学目标是，学生深入了解空间直角坐标系建立的背景，掌握空间直角坐标系的建立方法和空间点的坐标表示。为了较好地达成教学目标，在情境导入环节，教师组织学生对学过的相关知识进行集体讨论，完成新旧知识的对接;在空间直角坐标系构建环节，教师利用多媒体投放相关图形，要求学生细致观察，确认坐标系原点，设定x轴、y轴、z轴，得出3个坐标平面，获得空间直角坐标系的感性认识;在归纳提升环节，教师让学生对3个坐标平面分别进行分析，梳理知识，归结出空间直角坐标系构建的操作规程，获得整体认知。

由于学生对空间直角坐标系比较陌生，因此教师首先设计了新旧知识对接环节，然后有针对性地展示相关图形，对空间直角坐标系构成和组建程序做演示操作，让学生对空间直角坐标系的构建有了初步认识，再继续让学生分析实际案例，最终归纳出直角坐标系构建的流程和方法。

高中数学学习涉及了类比思想、建模思想、数形结合思想、化归思想、整体思想等众多数学思想，教师需要培养自身的数学思想意识，并在教学中主动为学生创造学习、运用数学思想的机会，引导学生在实际应用中完成数学思想的内化，促进学生学科核心素养的顺利形成。

【参考文献】

[1]彭雪峰.高中数学解题课中数学思想方法教学的策略[J].数理化解题研究，2021（12）.

[2]李杰.高中数学解题教学中思想方法的渗透：以构造法为例[J].中学数学教学参考，2021（9）.

【作者简介】王明建（1966— ），男，山西方山人，大学本科学历，高级教师，现就职于山西省吕梁市方山县高级中学，主要研究方向为基于高中数学“深度教学”理念的学科教学设计。

（责编 施景茗）